作业帮已知直线L过点A（0,1）和B（1,0）,P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/29 07:14:17
已知直线L过点A（0,1）和B（1,0）,P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
已知直线L过点A（0,1）和B（1,0）,P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.
（1）直接写出直线L的解析式；
（2）设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小于t小于2时,S的最大值；
（3）直线L1过点A且与x轴平行,问在L1上是否存在点C,使得三角形CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求出点C的坐标,并证明,若不存在,请说明理由.
已知直线L过点A（0,1）和B（1,0）,P是x轴正半轴上的动点,OP的垂直平分线交L于点Q,交x轴于点M.（1）直接写出直线L的解析式；（2）设OP=t,三角形OPQ的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求出当0小
由题意得
（1）y=1-x；
（2）∵OP=t,
∴Q点的横坐标为 ,
①当 ,即0＜t＜2时, ,
∴S△OPQ= t（1- t）．
②当t≥2时,QM=|1- t|= t-1,
∴S△OPQ= t（ t-1）．
∴
当0＜ t＜1,即0＜t＜2时,S= t（1- t）=- （t-1）2+ ,
∴当t=1时,S有最大值 ；
（3）由OA=OB=1,
所以△OAB是等腰直角三角形,
若在L1上存在点C,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形,
则PQ=QC,
所以OQ=QC,又L1‖x轴,则C,O两点关于直线L对称,
所以AC=OA=1,得C（1,1）．下面证∠PQC=90度．连CB,则四边形OACB是正方形．
①当点P在线段OB上,Q在线段AB上（Q与B、C不重合）时,如图-1．
由对称性,得∠BCQ=∠QOP,∠QPO=∠QOP,
∴∠QPB+∠QCB=∠QPB+∠QPO=180°,
∴∠PQC=360°-（∠QPB+∠QCB+∠PBC）=90度．
②当点P在线段OB的延长线上,Q在线段AB上时,如图-2,如如图-3
∵∠QPB=∠QCB,∠1=∠2,
∴∠PQC=∠PBC=90度．
③当点Q与点B重合时,显然∠PQC=90度．
综合①②③,∠PQC=90度．
∴在L1上存在点C（1,1）,使得△CPQ是以Q为直角顶点的等腰直角三角形．