作业帮A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 10:15:49
A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值
A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值
A,B是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1上两点,且OA垂直OB,求证1/OA^2+1/OB^2为定值
设A(tcosθ,tsinθ).因为OA垂直于OB,故B(rcos(90度+θ),rsin(90度+θ)).其中OA=t,OB=r,OA与x轴正向所成的角为θ,因为A、B两点都在椭圆上,所以这两点的坐标满足椭圆方程.
将坐标代入并化简得：
1/OA^2+1/OB^2=1/t^2+(1/r^2)=(b^2+a^2)/(a^2*b^2)=(定值)
其实这既可以说是圆的参数“表达式”,又可以说是初中阶段所学过的“图形与坐标”,但不是“椭圆的参数方程”,倒有一点类似于“直线方程的参数式”.但这样做是没有任何问题的,而且过程特别简捷.这样说,你能理解吗?
可以设A(acosθ，bsinθ）B(acosα，bsinα）其中α=θ+π/2 则有OA^2+OB^2=a^2cosθ^2+b^2sinθ^2+a^2cosα^2+b^2sinα^2 =a^2+b^2 OA^2×OB^2=(a^2cosθ^2+b^2sinθ^2)×（a^2cosα^2+b^2sinα^2） =[a^2(1-sinθ^2)+b^2sinθ^2]×[a^2sinθ^2+b^2(1-sinθ^2)] =(a^2-sinθ^2c^2)(b^2+c^2sinθ^2) =a^2b^2+a^2c^2sinθ^2-b^2c^2sinθ^2-c^4sinθ^2 =a^2b^2 可证得：1/OA^2+1/OB^2 =（OA^2+OB^2）/（OA^2×OB^2） =（a^2+b^2）/（a^2b^2） =1/a^2+1/b^2 看不懂欢迎追问 求采纳