作业帮圆的方程为：(x+3)^2+(y-4)^2=4;直线y=mx与圆相交与两点P和Q,O为坐标原点,求OP向量与OQ向量的点积的值?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 01:11:34
圆的方程为：(x+3)^2+(y-4)^2=4;直线y=mx与圆相交与两点P和Q,O为坐标原点,求OP向量与OQ向量的点积的值?
圆的方程为：(x+3)^2+(y-4)^2=4;直线y=mx与圆相交与两点P和Q,O为坐标原点,求OP向量与OQ向量的点积的值?
圆的方程为：(x+3)^2+(y-4)^2=4;直线y=mx与圆相交与两点P和Q,O为坐标原点,求OP向量与OQ向量的点积的值?
设交点坐标P(x1,mx1),Q(x2,mx2),α是OP,OQ间夹角
|OP| = √(x1^2 + m^2*x1^2) = |x1|√(1+m^2)
|OQ| = |x2|√(1+m^2)
|PQ| = √[(x1-x2)^2 + m^2*(x1-x2)^2] = |x1-x2|√(1+m^2)
cosα = (|OQ|^2 + |OP|^2 - |PQ|^2)/2|OP||OQ|
|OP||OQ|cosα = (|OQ|^2 + |OP|^2 - |PQ|^2)/2 = (1+m^2)x1x2
OP.OQ = |OP||OQ|cosα= (1+m^2)x1x2
交点坐标满足
(x+3)^2+(mx-4)^2=4
(1+m^2)x^2 + (6-8m)x + 21 = 0
x1x2 = 21/(1+m^2)
所以 OP.OQ = = (1+m^2)x1x2 = 21
圆的方程为：(x+3)^2+(y-4)^2=4;直线y=mx与圆相交与两点记为AB两点
A点左边（a,b）B点坐标（x,y)
OP向量与OQ向量的点积的值=a*x+b*y
然后将y=mx导入：(x+3)^2+(y-4)^2=4利用韦达定理求出a*x+b*y
画图观察可知m小于0,直线y=mx才可能与圆相交,所以直线为过原点且在二四象限OP,OQ两向量方向相同, 所以两向量点积即为两向量模的积也就是他们长度的积
代y=mx入圆的方程得x的一元二次方程,解出两个x 值,求出相应的y值,即为P,Q两点对应的坐标
救出OP,OQ的长度相乘即得答案
x1={ (4m-3)+{根号下[-(5m^2+24m+12)]} }/(1+m^2...
全部展开
画图观察可知m小于0,直线y=mx才可能与圆相交,所以直线为过原点且在二四象限OP,OQ两向量方向相同, 所以两向量点积即为两向量模的积也就是他们长度的积
代y=mx入圆的方程得x的一元二次方程,解出两个x 值,求出相应的y值,即为P,Q两点对应的坐标
救出OP,OQ的长度相乘即得答案
x1={ (4m-3)+{根号下[-(5m^2+24m+12)]} }/(1+m^2)
x2={ (4m-3)-{根号下[-(5m^2+24m+12)]} }/(1+m^2) 观察图像知x1,x2为负值
积为[根号下(1+m^2)]*|x1|*[根号下(1+m^2)]*|x2|
=21
其实观察上式可见,不用求出x1,x2
只要知道 |x1|*|x2|=x1*x2=21/(1+m^2)就行,
此积由y=mx 代入圆方程得一元二次方程可观察出
收起
用圆的割线定理
圆心C坐标为（-3，4），连结圆心与原点，得到一条直线3y+4x=0
该直线与圆有两个交点，分别为A和B
|OC|=5，圆的半径为2，故|OA|=3，|OB|=7
|OA|*|OB|=21
而根据圆的割线定理
|OP|*|OQ|=|OA|*|OB|=21