如图,在三角形ABC中,AB=AC,E是BC的中点,点O在AB上,以OB为半径的圆O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G连BM,此时∠FBM=∠CBM,当BC=6,OB:OS=1:2时,求弧FM,AM,AF围成的阴影部分面积

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/03 11:44:09

如图,在三角形ABC中,AB=AC,E是BC的中点,点O在AB上,以OB为半径的圆O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G连BM,此时∠FBM=∠CBM,当BC=6,OB:OS=1:2时,求弧FM,AM,AF围成的阴影部分面积
如图,在三角形ABC中,AB=AC,E是BC的中点,点O在AB上,以OB为半径的圆O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G连BM,此时∠FBM=∠CBM,当BC=6,OB:OS=1:2时,求弧FM,AM,AF围成的阴影部分面积

如图,在三角形ABC中,AB=AC,E是BC的中点,点O在AB上,以OB为半径的圆O经过点AE上的一点M,分别交AB,BC于点F,G连BM,此时∠FBM=∠CBM,当BC=6,OB:OS=1:2时,求弧FM,AM,AF围成的阴影部分面积

我粗略的画了一下草图,应该是OB：OA=1：2吧
依题意AE为圆O的切线（根据条件的角相等容易得到OM∥BC,进而OM⊥AE）,连结OM.所求阴影部分面积等于△AOM减掉扇形OMF
设半径为r,则OA=2r,AM=√3r,S△AOM=1/2*OM*AM=（√3/2）r^2
在Rt△AOM中,OA=2OM,则∠OAM=30°,进而∠AOM=60°
S扇形OMF=（60πr^2）/360=（π/6）r^2
阴影面积=（√3/2-π/6）r^2
又△AOM∽△ABE,那么BA/BE=OA/OM=2,且BA=3r,BE=3
解得r=2,代入后阴影面积=（6√3-2π）/3

连接OD，OF．
∵DE，AF是⊙O的切线，
∴OF⊥AC，OD⊥DE．
又∵DE⊥AC，
∴四边形ODEF为矩形．
∴OD=EF．
设AF=x，则
AB=AC=x+3+1=x+4，AG=AB-BG=x+4-6=x-2．
∵AF与⊙O相切，
∴AF²=AG•AB．
即x²=(x-2)(x+4），
解得x=4．