作业帮设函数f(x)=1/x,g(x)=ax^2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,则当b属于(0,1)时,求实数a的取值范围?（负9分之2倍根号3,正9分之2倍根号3）,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 09:08:17
设函数f(x)=1/x,g(x)=ax^2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,则当b属于(0,1)时,求实数a的取值范围?（负9分之2倍根号3,正9分之2倍根号3）,
设函数f(x)=1/x,g(x)=ax^2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,则当b属于(0,1)时,求实数a的取值范围?
（负9分之2倍根号3,正9分之2倍根号3）,
设函数f(x)=1/x,g(x)=ax^2+bx,若y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点,则当b属于(0,1)时,求实数a的取值范围?（负9分之2倍根号3,正9分之2倍根号3）,
这个题目其实就是考我们对于一元多次函数的理解,由于高中还不具备解一元多次方程的能力,所以这类问题都是转换成极值的问题来处理：由于两条曲线有且只有两个交点,所以令1/x=ax^2+bx有且只有两个解,这样将方程变形,并构造函数y=ax^3+bx^2-1.然后对方程求导,得出导函数y'=3ax^2+2bx,并令其等于0,得出两个极值点x1=-2b/3a,x2=0.然后分类讨论（配合三次函数的曲线形状更容易理解）,当a>0时,x1=-2b/3a为极大值点,x2=0为极小值点,极小值点y=-1,所以x1=-2b/3a应该与X轴相交,所以x1=-2b/3a时,ax^3+bx^2-1=0,可以解出a=正负9分之2倍根号3b^3,又因为a>0,且b属于(0,1),所以此时0
由 f(x)=g(x) 即 1/x=ax²+bx，化简得到一元三次方程 ax³+bx²-1=0，此方程应有三个根，从两函数图象仅有两个交点可知，所得方程仅有两个实根，故必有一个根是二重根，设 x=m 为二重根、x=n 为单根，则方程可表示为 a(x-m)²(x-n)=0，展开形式为：ax³-a(2m+n)x²+a(m²+2m*n...
全部展开
由 f(x)=g(x) 即 1/x=ax²+bx，化简得到一元三次方程 ax³+bx²-1=0，此方程应有三个根，从两函数图象仅有两个交点可知，所得方程仅有两个实根，故必有一个根是二重根，设 x=m 为二重根、x=n 为单根，则方程可表示为 a(x-m)²(x-n)=0，展开形式为：ax³-a(2m+n)x²+a(m²+2m*n)x-am²n=0；
将展开形式与原方程对比可知 b=-a(2m+n)，m²+2mn=0，am²n=1；
所以 m=-2n，a(-2n)²n=1，b=3na → n=b/(3a)；
a=1/(4n³)=1/[4b³/(3a)³]=27a³/(4b³)，∴ a²=4b³/27∈(0,4/27)，据此来确定 a 的取值范围；
收起