1. 计算行列式2.计算行列式3.计算行列式

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 13:40:57
1. 计算行列式2.计算行列式3.计算行列式

1. 计算行列式2.计算行列式3.计算行列式
1. 计算行列式
2.计算行列式
3.计算行列式

1. 计算行列式2.计算行列式3.计算行列式
行列式 怎么看不到啊 ?

计算行列式并无固定的方法.其实,同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算.因此,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,才能较快地酸楚行列式.这一讲,我们将介绍一些常用的方法.
1. 化为已经熟悉的行列式来计算
我们已经知道上(下)三角行列式、范德蒙行列式以及形如

的行列式的结果.如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形...

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计算行列式并无固定的方法.其实,同一个行列式可以有多种不同的方法进行计算.因此,除了掌握好行列式的基本性质外,针对行列式的结构特点,选取恰当的方法,才能较快地酸楚行列式.这一讲,我们将介绍一些常用的方法.
1. 化为已经熟悉的行列式来计算
我们已经知道上(下)三角行列式、范德蒙行列式以及形如

的行列式的结果.如果利用行列式的性质可把给定的行列式化为以上这些形式,则不难求出所给行列式的值.
为了叙述简便,仍用记号 表示互换行列式的第i行(列)与第j行(列);用 表示将行列式第j行(列)的k倍加到第i行(列);用 表示将第i行(列)乘以非零的数c.
例1 计算行列式

解 这是一个阶数不高的数值行列式,通常将它化为上(下)三角行列式来计算.


例2 计算n阶行列式

解 这个行列式每一列的元素,除了主对角线上的外,都是相同的,且各列的结构相似,因此n列之和全同.将第2,3,…,n列都加到第一列上,就可以提出公因子且使第一列的元素全是1.

例3 计算 阶行列式

其中 .
解 这个行列式的每一行元素的形状都是 , 0,1,2,…,n.即 按降幂排列, 按升幂排列,且次数之和都是n,又因 ,若在第i行( 1,2,…,n)提出公因子 ,则D可化为一个转置的范德蒙行列式,即

2. 降阶法
当一个行列式的某一行(列)的元素有比较多0时,利用行列式的依行(列)展开定理将它化为较低阶的行列式来计算.
例4 计算n(n≥2)阶行列式

解 按第一行展开,得

再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开,则可得到

3. 拆项法
拆项法是将给定的行列式的某一行(列)的元素都写成同样多的和,然后利用性质6将它表成一些比较容易计算的行列式的和.
例5 计算n(n≥2)阶行列式

解 将 按第一列拆成两个行列式的和,即

再将上式等号右端的第一个行列式第i列( ,3,…,n)减去第一列的i倍;第二个行列式提出第一列的公因子 ,则可得到

当n≥3时, .
当 时, .
例6 计算n阶行列式
,( ).
解 将第一行的元素都表成两项的和,使 变成两个行列式的和,即

将等号右端的第一个行列式按第一行展开,得:

这里 是一个与 有相同结构的 阶行列式;将第二个行列式的第一行加到其余各行,得:

于是有
(1)
另一方面,如果将 的第一行元素用另一方式表成两项之和:

仿上可得:
(2)
将(1)式两边乘以 ,(2)式两边乘以 ,然后相减以消去 ,得:

4. 加边法
在给定的行列式中添上一行和一列,得加边行列式,建立新的行列式与原行列式的联系,以求得结果.
例7 计算n(n≥2)阶行列式

其中 .
解 先将 添上一行一列,变成下面的 阶行列式:

显然, .将 的第一行乘以 后加到其余各行,得

因 ,将上面这个行列式第一列加第i( ,…, )列的 倍,得:



5. 递推法
递推法是根据行列式的构造特点,利用行列式的性质,将给定的行列式表成若干个具有相同形状以及一些容易计算的,但阶数较低的行列式之和,然后利用这种关系式计算原行列式的值,最后再用数学归纳法证明所得到的结果正确.这是一种颇常使用的方法,在计算范德蒙行列式时已建立过递推关系式,本讲的例6也利用了递推关系式.
使用递推法计算行列式,一般分三个步骤,首先找出递推关系式,然后算出结果,最后用数学归纳法证明结果正确.
例8 计算n阶行列式

解 首先建立递推关系式.按第一列展开,得:

这里 与 有相同的结构,但阶数是 的行列式.
现在,利用递推关系式计算结果.对此,只需反复进行代换,得:

因 ,故

最后,用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的.
当 时,显然成立.设对 阶的情形结果正确,往证对n阶的情形也正确.由

可知,对n阶的行列式结果也成立.
根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.
例9 证明n阶行列式

证明 按第一列展开,得

其中,等号右边的第一个行列式是与 有相同结构但阶数为 的行列式,记作 ;第二个行列式,若将它按第一列展开就得到一个也与 有相同结构但阶数为 的行列式,记作 .这样,就有递推关系式:

因为已将原行列式的结果给出,我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的.
当 时, ,结论正确.
当 时, ,结论正确.
设对 的情形结论正确,往证 时结论也正确.


可知,对n阶行列式结果也成立.
根据归纳法原理,对任意的正整数n,结论成立.
给分啊!!!!谢谢了

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