作业帮已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分,已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x若a=b=-3,求f(x)的单调区间若f(x)在(-∞,α）,（2,β）上单调增加,在（α,2）,（β,+∞）上单调减少,证明：β-α>6
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 19:38:31
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分,已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x若a=b=-3,求f(x)的单调区间若f(x)在(-∞,α）,（2,β）上单调增加,在（α,2）,（β,+∞）上单调减少,证明：β-α>6
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分,
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x
若a=b=-3,求f(x)的单调区间
若f(x)在(-∞,α）,（2,β）上单调增加,在（α,2）,（β,+∞）上单调减少,证明：β-α>6
已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x,高三数学有关导数的部分,已知函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^-x若a=b=-3,求f(x)的单调区间若f(x)在(-∞,α）,（2,β）上单调增加,在（α,2）,（β,+∞）上单调减少,证明：β-α>6
(1)∵函数f(x)=(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)
F’(x)=(3x^2+6x-3)e^(-x)-(x^3+3x^2-3x-3)e^(-x)
=(-x^3+9x)e^(-x)=0
解得：x1=-3,x2=0,x3=3
F”(x)=( x^3-3x^2-9x+9)e^(-x)
F”(x1)=-18 e^30,F”(x3)=-18e^(-3)
∴函数f(x)在x1,x2,x3处分别取得极大,极小,极大值
∴函数f(x) 在(-∞,-3),(0,3)上单调增；在（-3,0）,(3,+∞)单调减；
（2）∵函数f(x)=(x^3+3x^2+ax+b)e^(-x)
F’(x)=(3x^2+6x+a-x^3-3x^2-ax-b)e^(-x)
=(-x^3+(6-a)x+a-b)e^(-x)
∵函数f(x)在(-∞,α）,（2,β）上单调增加,在（α,2）,（β,+∞）上单调减少
∴x=2为函数f(x)的一个极小值点
即f’(2)=(-8+12-2a+a-b)e^(-2)=0==>a+b=4
∴b=4-a
代入-x^3+(6-a)x+a-b＝-x^3+(6-a)x+2a-4=(x-2)(-x^2-2x+2-a)
∴α,β满足-x^2-2x+2-a＝0==>x^2+2x+a-2＝0
由韦达定理知β+α=-2,βα=a-2
(β-α)^2=(β+α)^2- 4βα=12-4a
β-α=2√（3-a）
当a6
所以,本题第二问有问题,即不是在任何时候都满足β-α>6