求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 23:11:47
求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)

求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)
求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)

求解微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)
如图\x0d



把y看做常数,把分数的形式写成相乘的形式,即(ab)'=a’b+ab',然后套用公式就可以了

可化为齐次微分方程,再按齐次微分方程的一般方法求解即可。

具体步骤请看下图

设x=u+2,y=v-1,则dx=du,dy=dv.
∴dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)转换为:dv/du=(u+v)/(u+4v).......(1)
再设v=zu,则dv=zdu+udz.
∴方程(1)转换为:(1+4z)/(1-4z²)dz=du/u...........(2)
将(2)变形得:[(3/...

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设x=u+2,y=v-1,则dx=du,dy=dv.
∴dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)转换为:dv/du=(u+v)/(u+4v).......(1)
再设v=zu,则dv=zdu+udz.
∴方程(1)转换为:(1+4z)/(1-4z²)dz=du/u...........(2)
将(2)变形得:[(3/2)/(1-2z)-(1/2)/(1+2z)]dz=du/u...........(3)
解方程(3)得:(1-2z)³(1+2z)=C/u^4,(C是积分常数)........(4)
把z=v/u代入(4)得:(u-2v)³(u+2v)=C...........(5)
把u=x-2与v=y+1代入(5)得:(x-2y-4)³(x+2y)=C,(C是积分常数).
故微分方程dy/dx=(x+y-1)/(x+4y+2)通解是:
(x-2y-4)³(x+2y)=C,(C是积分常数).

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