高数证明不等式的一道题!当0

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 22:24:22
高数证明不等式的一道题!当0

高数证明不等式的一道题!当0
高数证明不等式的一道题!
当0后一个不等号会证明,只求前一个的解法!应该利用的是函数的单调性和极值.

高数证明不等式的一道题!当0
另y=sinx-2x/π
y的导数为cosx-2/π
另y=0,即cosx-2/π=0
所以x=arccos2/π,由三角函数知这个值在(0,π/2)之间
故在(0,arccos2/π)之间y是递增的,(arccos2/π,π/2)y是递减的,而x=0时y=0,x=π/2时,同样y=0,所以在(0,π/2)之间y大于0,故sinx-2x/π大于0,即sinx大于2x/π

设f(x)= sinx,0f'(x) = cosx, f''(x) = -sinx < 0,
所以f(x) 是凹函数, 即 f(x) > L(x), 其中, L(x) 是过 函数两个端点 (0,0),(pi/2, 1) 的直线。 L(x) = 2/pi * x.
所以 sin x > 2x/pi