数学不等式证明：已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/20 03:23:30

数学不等式证明：已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1.
数学不等式证明：已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1.

数学不等式证明：已知a,b,c属于R,求证a^2+b^2>=ab+a+b-1.
a^2+b^2≥2ab
b^2+1^2≥2b
1^2+a^2≥2a
相加得：
2(a^2+b^2+1)≥2(ab+a+b)
两边同除以2：
a^2+b^2+1≥ab+a+b
移项即得：
a^2+b^2≥ab+a+b-1

A+B>=2AB 原式＝A^2+B^2－2AB>=－1 (A－B)^ 2>＝－1

∵【a^2+b^2】-【ab+a+b-1】
= a^2+b^2-ab-a-b+1
= 1/2 {2a^2+2b^2-2ab-2a-2b+2}
= 1/2 { (a^2-2ab+b^2) +(a^2-2a+1) + (b^2-2b+1) }
= 1/2 { (a-b)^2 + (a-1)^2 + (b-1)^2 } ≥ 0
∴【a^2+b^2】≥【ab+a+b-1】

差法：(a²+b²)-(ab+a+b-1)={a-[(b+1)/2]}²+3(b-1)²/4≥0,等号仅当a=b=1时取得。∴a²+b²≥ab+a+b-1.

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