a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件求证行列式|1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件是a+b+c+d=0,紧急,貌似不能用范德蒙德.

a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件求证行列式|1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件是a+b+c+d=0,紧急,貌似不能用范德蒙德.
a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件
求证行列式
|1 1 1 1 |
|a b c d |
|a^2 b^2 c^2 d^2 |
|a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件是a+b+c+d=0,紧急,貌似不能用范德蒙德.

a b c d为互异实数 则行列式 |1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件求证行列式|1 1 1 1 ||a b c d ||a^2 b^2 c^2 d^2 ||a^4 b^4 c^4 d^4 |为0的充要条件是a+b+c+d=0,紧急,貌似不能用范德蒙德.
作辅助行列式D1 =
1 1 1 1 1
a b c d x
a^2 b^2 c^2 d^2 x^2
a^3 b^3 c^3 d^3 x^3
a^4 b^4 c^4 d^4 x^4
此为Vandermonde行列式,故
D1 = (b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(x-a)(x-b)(x-c)(x-d).
又因为行列式D1中x^3的系数-M44即为行列式D
所以
D = -(b-a)(c-a)(d-a)(c-b)(d-b)(d-c)(-a-b-c-d)
= (a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)(a+b+c+d).
由于 a,b,c,d 两两不等,所以 D=0 的充要条件是a+b+c+d=0.