求微分方程dy/dx=y^2/(-x+2xy+y^2)的通解

求微分方程dy/dx=y^2/(-x+2xy+y^2)的通解
求微分方程dy/dx=y^2/(-x+2xy+y^2)的通解

求微分方程dy/dx=y^2/(-x+2xy+y^2)的通解
令u=x/y,则 dx/dy=u+ydu/dy
原式化为 u+ydu/dy=-u/y+2u+1(即变量y 因变量u的一次线性非齐次方程)
整理得 du/dy-(1/y^2-1/y)u=1/y
先求齐次方程 du/dy-(1/y^2-1/y)=0
可得u=Cye^(1/y) (C为常数)
再利用常数变易法设u=C（y）ye^(1/y) 带入原非齐次方程
求得 C（y）=e^(-1/y)+C
所以 u=y+Cye^(1/y)
最终结果为 x=y^2+C(y^2)e^(1/y)