作业帮已知数列{an},满足a(n+1)=an-2/2an-3,a1=1/2 计算a2,a3,a4a,猜想数列的通项an,并利用数学归纳法证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/27 19:51:07
已知数列{an},满足a(n+1)=an-2/2an-3,a1=1/2 计算a2,a3,a4a,猜想数列的通项an,并利用数学归纳法证明
已知数列{an},满足a(n+1)=an-2/2an-3,a1=1/2 计算a2,a3,a4a,猜想数列的通项an,并利用数学归纳法证明
已知数列{an},满足a(n+1)=an-2/2an-3,a1=1/2 计算a2,a3,a4a,猜想数列的通项an,并利用数学归纳法证明
a2=(a1-2)/(2a1-3)=(1/2 -2)/(1-3)=3/4
a3=(a2 -2)/(2a2 -3)=(3/4 -2)/(3/2 -3)=5/6
a4=(a3-2)/(2a3-3)=(5/6 -2)/(5/3 -3)=7/8
变形：
a1=1/2=(2×1-1)/(2×1)
a2=3/4=(2×2-1)/(2×2)
a3=5/6=(2×3-1)/(2×3)
a4=7/8=(2×4-1)/(2×4)
…………
猜想：an=(2n-1)/(2n)
证：
n=1时,a1=1/2=(2×1-1)/(2×1),表达式成立.
假设当n=k(k∈N且k≥1)时,表达式成立,即ak=(2k -1)/(2k),则当n=k+1时,
a(k+1)=(ak -2)/(2ak -3)
=[(2k-1)/(2k) -2]/[2×(2k-1)/(2k)-3]
=[(2k-1)-2×(2k)]/[2×(2k-1)-3×(2k)]
=(2k-1-4k)/(4k-2-6k)
=(-2k-1)/(-2k-2)
=(2k+1)/(2k+2)
=[2(k+1)-1]/[2(k+1)]
表达式同样成立.
综上,得an=(2n -1)/(2n)
你把题打清楚一点好吗？很不好理解呀？
a1=1/2 a2=3/4 a3=5/6
an=(2n-1)/(2n) (n≥1 ,n∈N）
当n=k+1(k∈N）
an=(2k+1)/(2k+2)依然成立