设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/01 22:44:26

设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx
设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx

设f(x)在[a,b]连续且f′(x)>0,证明∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx
构造函数：F(u)=2∫[a--->u] xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx,u∈[a,b],显然有F(a)=0
F'(u)=2uf(u)-∫[a--->u]f(x)dx-(a+u)f(u)
=uf(u)-af(u)-∫[a--->u]f(x)dx
=f(u)(u-a)-∫[a--->u]f(x)dx
由积分中值定理：∫[a--->u]f(x)dx=f(ξ)(u-a),a<ξ=f(u)(u-a)-f(ξ)(u-a)
=[f(u)-f(ξ)](u-a)
由于a<ξ0,函数为增函数,则 f(u)>f(ξ)
因此[f(u)-f(ξ)](u-a)>0,即F(u)为增函数,则F(u)>F(a)=0
即：2∫[a--->u] xf(x)dx-(a+u)∫[a--->u]f(x)dx>0
令u=b,得：2∫[a--->b] xf(x)dx-(a+b)∫[a--->b]f(x)dx
即：∫(a,b) xf(x)dx≥(a+b)/2 ∫(a,b)f(x)dx

设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导且f'(x) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导且f'(x) 设函数f(x),g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a) 证明设f(x)在有限开区间(a,b)内连续,且f(a+) ,f(b-)存在,则f(x)在(a,b)上一致连续. 设f(x) 在[a,b] 上连续,且f(x)>0.求证:∫(a,b)f(x)dx*∫(a,bdx/f(x)≥(b-a)^2. 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)可导,且f(a)*f(b)>0,f(a)*f((a+b)/2) 介值定理推论的证明设f(x)在[a,b]内连续,且f(a)*f(b) 设f(x)在[a,b]上连续,且没有零点,证明f(x)在[a,b]上保号设函数f(x)j连续于（a,b).且没有零点,证明：f(x)在（a,b)上保号, 设f(x)在[a,b]二阶可导,且f''(x) 设函数f(x)在(a,b)内连续,且f(a+),f(b-)存在,证明：函数f(x)在(a,b)内有界. 一条简单的函数连续和极限问题设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,且f(a)>g(a),f(b) 设f(x)在闭区间（a,b)上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a 设函数f(x)在[a,b]上连续,且a