证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)如题,不等式证明,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/28 22:14:38
证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)如题,不等式证明,

证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)如题,不等式证明,
证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)
如题,不等式证明,

证明 (x+y+z)^2>3(xy+yz+zx)如题,不等式证明,
(x+y+z)^2
=x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2xz>3(xy+yz+zx)
所以只要求证
x^2+y^2+z^2>xy+yz+zx
2(x^2+y^2+z^2) >2(xy+yz+zx)
(x^2+y^2)+(x^2+z^2)+(y^2+z^2)>=2xy+2xz+2yz
所以x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx
这个题要给出条件是:x,y,z>0 且x,y,z不相互相等

证明:(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=(x²/2+y²/2)+(y²/2+z²/2)+(z²/2+x²/2)+2(xy+yz+zx)≥xy+yz+zx+2(xy+yz+zx)=3(xy+yz+zx)(均值不等式).
x²+y²-2xy=(x-y...

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证明:(x+y+z)²=x²+y²+z²+2(xy+yz+zx)=(x²/2+y²/2)+(y²/2+z²/2)+(z²/2+x²/2)+2(xy+yz+zx)≥xy+yz+zx+2(xy+yz+zx)=3(xy+yz+zx)(均值不等式).
x²+y²-2xy=(x-y)²≥0
∴x²+y²≥2xy
要好好学习,自己多思考,才能有进步啊!

收起

(x+y+z)^2=x^2+y^2+z^2+2xy+2xz+2yz=(x^2)/2+(y^2)/2+(y^2)/2+(z^2)/2+(z^2)/2+(x^2)/2+2xy+2yz+2zx
(x^2)/2+(y^2)/2=1/2(x^2+y^2)>xy
同理(y^2)/2+(z^2)/2〉yz
(z^2)/2+(x^2)/2〉zx
可证明上式