设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’（g）=- 2f(g)/g

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 19:22:14

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’（g）=- 2f(g)/g
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’（g）=- 2f(g)/g

设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0 证明至少存在一点g∈(0,1)使得f’（g）=- 2f(g)/g
令：F(x)=x^2*f(x)
当x=0时,F(0)=0^2*f(0)=0
当x=1时,F(1)=1^2*f(1)=0
而且F(x)在[0,1]内连续,F(x)在(0,1)内可导
故根据Rolle中值定理得:
存在g∈(0,1),使得f'(g)=0
而f'(x)=2xf(x)+x^2*f'(x)
故有：2gf(g)+g^2*f'(g)=0且g∈(0,1)
即得：-2f(g)=g*f'(g)
故：f'(g)=-2f(g)/g
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