作业帮过点（3,0）的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 11:08:58
过点（3,0）的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
过点（3,0）的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
过点（3,0）的直线与x^2+y^2=16交于A,B.求直线的斜率是什么的时候.三角形OAB面积最大 怎么算
①当直线的斜率不存在时,直线的方程为x=3,此时A（3,√7）,B（3,-√7）
所以△OAB的面积=1/2×3×2√7=3√7
②当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-3),A(x1,y1),B(x2,y2)
将y=k(x-3)代入x²+y²=16得,x²+k²(x-3)²=16,
整理得：(1+k²)x²-6k²x+9k²-16=0
韦达定理：x1+x2=6k²/(1+k²)
x1x2=(9k²-16)/(1+k²)
所以|x1-x2|²=(x1+x2)²-4x1x2=(28k²+64)/(1+k²)²
所以|x1-x2|=√(28k²+64) /(1+k²)
则AB=√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]=√(1+k²) |x1-x2|
O到AB的距离d=|3k|/√(1+k²)
所以△OAB的面积=AB×d/2=3|x1-x2||k|/2
=3√(28k²+64) |k|/[2(1+k²)]
=3/2 √[k²(28k²+64)/(1+k²)²]
=1/4 √[36k²(28k²+64)/(1+k²)²]
≤1/4 √{[(36k²+28k²+64)/2]²/(1+k²)²}
=1/4 ×32
=8
综上：△OAB的面积最大为8
提示：∠BOA＝90°时，面积最大＝1/2*r^2*sin∠BOA＝8。
设A（a,√(16-a^2)），B（√(16-a^2),-a），求出过AB的直线方程，将（3,0）点代入，可得a值，再将a代入AB直线方程，可知斜率（两种情况）