作业帮若|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|,求x+y的最大值与最小值（要求写出过程）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/28 15:48:50
若|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|,求x+y的最大值与最小值（要求写出过程）
若|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|,求x+y的最大值与最小值（要求写出过程）
若|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|,求x+y的最大值与最小值（要求写出过程）
绝对值的几何意义,你应该知道吧?比如,|x - 10|表示数轴上任意一点到点 x = 10 的距离；也表示平面坐标系中,任意一点到直线 x = 10 的距离.
将原方程进行移项,得：
|x + 2| + |x - 3| + |y - 1| + |y - 2|= 6
这样一来,方程右边是 6；左边是 4 个绝对值相加.设：
x1 = |x + 2|；表示点到直线 x = -2 的距离；
x2 = |x - 3|；表示点到直线 x = 3 的距离；
y1 = |y - 1|；表示点到直线 y = 1 的距离；
y2 = |y - 2|；表示点到直线 y = 2 的距离；
所以这个方程的几何意义就是：平面中究竟有哪些点到这 4 条直线的距离之和,恰好为 6.
事实上,这 4 条直线（两组平行线）恰好将平面分成了 3 × 3 = 9 块区域.
（1）先说纵向的两条平行直线：x = -2 和 x = 3.平面中的点,不管落在哪个位置,它到这两条直线的距离之和,都不会小于两条直线之间的距离：5,即：
x1 + x2 ≥ 5
而且,如果点落在这两直线的“外侧”（就是没有落在两直线上或二者之间）,距离之和一定比 5 大.
（2）同理,可得：
y1 + y2 ≥ 1
且如果点落在这两直线的“外侧”,距离之和一定比 1 大.
综合（1）（2）可知：
x1 + x2 + y1 + y2 ≥ 6
而且,如果点落在任何一组平行线的“外侧”,上式必然要取“＞”.
而方程要求取“＝”,所以符合方程的点一定同时落在两组平行线之间,或落在四直线相交所得的四条线段上.也就是落在 9 块区域里位于中心的那块区域（这是一个长方形区域,你自己画图就知道）.该区域就是x、y的取值范围,也就是这个方程的解集.
现在可以讨论 x+y 的取值范围了,显然其最小值和最大值分别对应“长方形区域”的左下角顶点和右上角顶点,其坐标分别为：(-2,1)、(3,2),所以：
最小值：-2 + 1 = -1；
最大值：3 + 2 = 5；
|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|，|x+2|+|x-3|+|y-2|+|y-1|=6,第一种情况，要使x+y的值最大，应该取x、y分别尽量大，因此假设当X大于等于3，y大于等于2，可化为2x+2y=10，即x+y=5，这时x=3，y=2.第二种情况，要使x+y的值最小，应该取x、y分别尽量小，因此假设x小于等于-2，y小于等于1时，原式可化为-x-2+3-x+2-y+1-y=6，...
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|x+2|+|y-2|=6-|x-3|-|y-1|，|x+2|+|x-3|+|y-2|+|y-1|=6,第一种情况，要使x+y的值最大，应该取x、y分别尽量大，因此假设当X大于等于3，y大于等于2，可化为2x+2y=10，即x+y=5，这时x=3，y=2.第二种情况，要使x+y的值最小，应该取x、y分别尽量小，因此假设x小于等于-2，y小于等于1时，原式可化为-x-2+3-x+2-y+1-y=6，化简得x+y=-1，这时x等于-2，y等于1.
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