一道不等式的证明题!设f(x)=x^2+px+q,则f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中是否至少有一个不小于1/2?并证明你的结论.

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2022/06/28 20:07:04
一道不等式的证明题!设f(x)=x^2+px+q,则f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中是否至少有一个不小于1/2?并证明你的结论.

一道不等式的证明题!设f(x)=x^2+px+q,则f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中是否至少有一个不小于1/2?并证明你的结论.
一道不等式的证明题!
设f(x)=x^2+px+q,则f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中是否至少有一个不小于1/2?并证明你的结论.

一道不等式的证明题!设f(x)=x^2+px+q,则f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中是否至少有一个不小于1/2?并证明你的结论.
用反证法:
设f(1)的绝对值,f(2)的绝对值,f(3)的绝对值中都小于1/2

|f(1)|+2*|f(2)|+|f(3)|=f(1)-2f(2)+f(3)
=(1+p+q)-2(4+2p+q)+(9+3p+q)=2 (2)
(1)与(2)矛盾,故假设不成立,原命题成立

由题意:
f(1)=1+p+q
f(2)=4+2p+q
f(3)=9+3p+q
∴f(2)-f(1)=3+2a............(1)
f(3)-f(2)=5+2a............(2)
(2)-(1):
f(1)-2f(2)+f(3)=2
假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2
根据绝对值...

全部展开

由题意:
f(1)=1+p+q
f(2)=4+2p+q
f(3)=9+3p+q
∴f(2)-f(1)=3+2a............(1)
f(3)-f(2)=5+2a............(2)
(2)-(1):
f(1)-2f(2)+f(3)=2
假设|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于1/2
根据绝对值不等式:
|f(1)-2f(2)+f(3)|≤|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2
与上述f(1)-2f(2)+f(3)=2矛盾
∴|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一个不小于1/2

收起

max{|f(1)|,|f(2)},|f(3)|}≥(1/4)(|f(1)|+2|f(2)}+|f(3)|)
≥(1/4)[f(1)-2f(2)+f(3)]≥(1/4)×2=1/2

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