作业帮如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求：AG⊥CE.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 20:05:03
如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求：AG⊥CE.
如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点
求：AG⊥CE
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如图 已知Rt△ABC中,AB=AC D是 BC的中点 且∠FGE=45° F ,E是AB上两点,G是DF,CE的交点,P是AD,CE的交点 求：AG⊥CE.
四点共圆是最简单的方法：
∵∠CGD＝∠FGE＝45°＝∠CAD
∴C、A、G、D四点共圆
∴∠CGA＝∠CDA＝90°
∴AG⊥CE
没学四点共圆也可以证：
∵∠CGD＝∠FGE＝45°＝∠CAP
∴△CAP∽△DGP
∴CP/DP＝AP/GP
∴CP/AP＝DP/GP
∵∠CPD＝∠APG
∴△CPD∽△APG
∴∠AGP＝∠CDP＝90°
∴AG⊥CE
在⊿BEC和⊿CDG中，∠ECB=∠DCG，∠FGE=45°=∠B
∴∠CDG=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿CDG
∴CD/CG=CE/BC，CG*CE= CD*BC
∵D为BC中点，∴BC=2CD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形，∴AB=√2CD
即CG*CE=2CD²=（√2CD）²=AB²
∴CG/BA=BA/CE<...
全部展开
在⊿BEC和⊿CDG中，∠ECB=∠DCG，∠FGE=45°=∠B
∴∠CDG=∠BEC, 即⊿BEC∽⊿CDG
∴CD/CG=CE/BC，CG*CE= CD*BC
∵D为BC中点，∴BC=2CD
又∵⊿ABC为等腰直角三角形，∴AB=√2CD
即CG*CE=2CD²=（√2CD）²=AB²
∴CG/BA=BA/CE
在⊿CAE和⊿CGA中, ∠ACE=∠ACG
∴⊿CAE∽⊿CGA,即∠CAE=∠CGA=90°
∴AG垂直BE
收起
图不清楚
角CGD=45 所以角GCD+角ADG=45 所以角ACE=角ADF 所以CAGD四点共圆 所以角CDA=角CGA=90度 AG⊥CE
第一种方法很复杂，不过能看懂就会有很大收获，第三种方法好，四点共圆的方法已经在初中教材删去。建议使用第三种方法，认真看懂第一种方法。
延长AC、PD交于点E
由角BAC=PCD=90度，得角ABC+ACB=DCE+ACB
得角ABC=DCE=APD。
在四边形APDC中，角DCE=APD，得APDC是圆内接四边形
所以，角PAD=PCD=90度=BAC
因角APD=ABC，得三角形APD与ABC相似
所以，在RT三角形ABC中，cos∠ABC=AB：BC=AP：PD。