已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/03/29 17:53:51
已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)
若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上

已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上
1)设椭圆Ax^2+By^2=1
代入(-2.0).(1.3/2),解得A=1/4,B=1/3
所以E方程x^2/4+y^2/3=1
(2)直线L:y=k(x-1)(k不等于零)与椭圆联立:(3+4k^2)x^2-8k^2x+4k^2-12=0;
M(x1,y1)、N(x2,y2);
x1+x2=8k^2/(3+4k^2);(1)
y1+y2=-6k/(3+4k^2);(2)
直线AM:y=(y1)/(x1+2)(x+2);与x=4交点P(4,6y1/(x1+2));
直线BN:y=(y2)(x1-2)(x-2);与x=4交点Q(4,2y2/(x2-2));
PQ向量:(0,2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)),将(1)、(2)代入:
2y2/(x2-2)-6y1/(x1+2)=(6y1+8k^2y1+12k)/[(3+4k^2)x1+6]-(6y1)/(x1+2)
=[-(12+16k^2)x1y1+12kx1+(16k^2-24)y1+24k]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];将y1=k(x1-1)代入:
=-4k[(3+k^2)x1^2-8k^2x1+4k^2-12]/[(3x1+4k^2x1+6)(x1+2)];
=0;
故PQ重合,且在x=4上

1.显然A,B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时,设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上,解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时,设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>...

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1.显然A,B两点只可能是椭圆的长轴顶点或短轴顶点
当为长轴顶点时,设方程为x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)
显然a=2
再由C在椭圆上,解之b²=3
此时方程为x²/4+y²/3=1
当为短轴顶点时,设方程为y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)
显然b=2
再由C在椭圆上,解之a²=3
显然不合题意
故椭圆方程为x²/4+y²/3=1
2.设△DFH内切圆的半径为r,D的坐标为(m,n)
由面积相等得:
1/2(DF+FH+HD)r=1/2FH*|n|
由椭圆定义:DF+FH+HD=2a+2c为定值
故当|n|最大时,r最大
r=FH*|n|/(DF+FH+HD)=2*√3/6=√3/3
显然,当D在短轴顶点时r最大
此时△DFH为等腰三角形
故内切圆圆心在y轴上
这样内切圆圆心坐标为(0,±√3/3)
3.设M(x1,y1)N(x2,y2)
联立y=k(x-1)与x²/4+y²/3=1得:
3x²+4k²(x-1)²-12=0
整理得:
(4k²+3)x²-8k²x+4k²-12=0
由韦达定理:
x1+x2=4k²/(4k²+3)
x1*x2=(4k²-12)/(4k²+3)
由两点式写出AM,BN的方程
AM:y/(x+2)=y1/(x1+2)
BN:y/(x-2)=y2/(x2-2)
联立解出交点横坐标:
(x-2)/(x+2)=[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]①
因M,N在l上
故:y1=k(x1-1)y2=k(x2-1)
带入①式
[(x2-2)y1]/[(x1+2)y2]
=[(x2-2)k(x1-1)]/[(x1+2)k(x2-1)]
=[(x2-2)(x1-1)]/[(x1+2)(x2-1)]
=[x1x2-2x1-x2+2]/[x1x2-x1+2x2-2]
=[x1x2-(x1+x2)-x1+2]/[x1x2+2(x1+x2)-3x1-2]
=1/3
即(x-2)/(x+2)=1/3
解之x=4
故直线AM与BN的交点在直线x=4上

收起

已知椭圆中心E在坐标原点,焦点再坐标轴上,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,1.5)三点.求椭圆E的方程若直线L 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.求椭圆C的方程 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.求椭圆方程 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且F(2,0)为其右焦点 已知椭圆C的中心在坐标原点,交点在x轴上,离心率e=2分之1,且椭圆C经过点P(2,3),过椭圆C的左交点是...已知椭圆C的中心在坐标原点,交点在x轴上,离心率e=2分之1,且椭圆C经过点P(2,3),过椭圆C的左 已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)三点.求椭圆E的方程;若点D为椭圆E上不同于A,B的任意一点,f(-1,0),H(1,0),当三角形DFH内切圆的面积最大时,求内切圆圆心的 已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过A(-2,0)、B(2,0)C(1,3/2)三点.(1)求椭圆E的方程.(2)若点D为椭圆E上不同于A、B的任意一点,F(-1,0),H(1,0),当三角形DFH内切圆的面积 已知两点求椭圆方程(在线等~)已知椭圆E的中心在坐标原点,焦点F1.F2在坐标轴上,且经过A(2,3)B(-2倍根号3,根号3)两点.求椭圆E的方程. 已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在x轴上,且经过A(0,2根号3,离心率1/21.求椭圆P的方程2.是否存在过点E(0,-4)的直线l交椭圆P于点R,T且满足OR垂直OT,若存在求l方程 已知椭圆P 的中心O在坐标原点,焦点在X坐标轴上,且经过点A(0,2根号3)离心率为1/21)求椭圆P的方程2)是否存在过点E(0,-4)的直线L交椭圆P于点R,T,且满足向量OR*向量OT=16/7 已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过点M(4.1).N(2.2).求椭圆C的方程. 已知椭圆E的中心在坐标原点,且经过A(-2,0),B(2,0),C(1,3/2)若直线l:y=k(x-1)与椭圆E交于M,N两点,证明直线AM与直线BN的交点在直线x=4上 已知椭圆C的中心在坐标原点且经过A(√2,0)B(0,-1) 求椭圆C的标准方程并求其离心率 已知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.求椭圆C的方程. 已知中心在坐标原点0的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点.求椭圆C的方程. 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程(2)是否存在平行于OA的...已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点(1)求椭圆C的方程(2)是否存 已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0),为其右焦点.(1)求椭圆c的方程(2)是...已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0),为其右焦点.(1)求椭圆c的方程( 已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在X轴上,且经过点A(0,2√3),离心率为二分之一.①求椭圆P的过程...已知椭圆P的中心O在坐标原点,焦点在X轴上,且经过点A(0,2√3),离心率为二分之一.①求椭