作业帮lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4当X趋向0的极限.题目是（1减去x的平方减去e的负x的平方次方）除以sin2x的4次方
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 02:31:23
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4当X趋向0的极限.题目是（1减去x的平方减去e的负x的平方次方）除以sin2x的4次方
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4
当X趋向0的极限.题目是（1减去x的平方减去e的负x的平方次方）除以sin2x的4次方
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4当X趋向0的极限.题目是（1减去x的平方减去e的负x的平方次方）除以sin2x的4次方
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4
＝lim (1-x^2-e^(-x^2))/(2x)^4 （sin2x～2x,无穷小代换）
＝lim(-2x+2x*e^(-x^2))/(16x^3) （罗必达求导）
=lim [e^(-x^2)-1]/(8x^2) （约分）
=lim -2x*e^(-x^2)/(16x) （罗必达求导）
=lim -e^(-x^2)/8 （约分）
=-1/8 （代入x=0）
以上这种解法是错误的,正确的解法应该利用级数展开：
exp(y)=1+y+y^2/2!+y^3/3!+……
因此：
e^(-x^2)=1-x^2+x^4/2+O(x^4);
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4
＝lim (1-x^2-e^(-x^2))/(2x)^4 （sin2x～2x,无穷小代换）
=lim {1-x^2-[1-x^2+x^4/2+O(x^4)]}/(2x)^4
=lim [-x^4/2-O(x^4)]/(16x^4)
=-1/32
说明一下开始提及的解法为什么是错误的：
lim(A+B)=limA+limB是有条件的,即limA和limB都是存在的,开始的解法中,实际上是做了如下分离,
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4
＝lim (1-x^2-e^(-x^2))/(2x)^4 （sin2x～2x,无穷小代换）
＝lim(1-e^(-x^2))/(2x)^4 - lim x^2/(16x^4)
这一步是错误的,因为后一个极限不存在.
这个是0/0型的
可以利用上下求导的方法
无穷小替换
lim (1-x^2-e^(-x^2))/(sin2x)^4
=lim (1-x^2-e^(-x^2))/(2x)^4
用落必塔法则
＝-1/8