椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/25 12:03:40

椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!

椭圆的两个焦点F1、F2,M点是椭圆内一点,向量MF1×向量MF2=0,求椭圆离心率的取值范围?请赐教!
因为向量MF1×向量MF2=0,所以它们的夹角为90度,
因此M的轨迹是以椭圆中心为圆心,以半焦距c为半径的圆;
依题设此圆内含于椭圆,所以c1,
则b^2/c^2>1,
(b^2+c^2）/c^2=a^2/c^2>2,
所以c^2/a^2=e^2

椭圆的两个焦点F1、F2，M点是椭圆内一点，向量MF1×向量MF2=0，求椭圆离心率的取值范围？
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，左焦点为F₁(-c，0)，右焦点为F₂(c，0)；M为椭圆内的一点，设其坐标为(x，y)，则：向量MF₁=(x+c，y)；向量MF₂=(x-c，y)；
已知M...

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椭圆的两个焦点F1、F2，M点是椭圆内一点，向量MF1×向量MF2=0，求椭圆离心率的取值范围？
设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1，左焦点为F₁(-c，0)，右焦点为F₂(c，0)；M为椭圆内的一点，设其坐标为(x，y)，则：向量MF₁=(x+c，y)；向量MF₂=(x-c，y)；
已知MF₁•MF₂=(x+c)(x-c)+y²=x²-c²+y²=0，故得x²+y²=c²，即M(x，y)是在以原点为圆心，以半
焦距c为半径的圆上；由于M在椭圆内，故恒有x²+y²=c²=1-e²，故得2e²<1，e²<1/2，即0

收起

(MF1+MF2）/2 ≤√ [(MF1²+MF2²）/2]，MF1²+MF2²=4c²
∴(MF1+MF2)²≤2(MF1²+MF2²），即4a²≤2*4c²，e≥√2/2.
∴√2/2≤e＜1