已知z属于c,且|z|=1,z不等于正负1,求证z-1/z+1是纯虚数

已知z属于c,且|z|=1,z不等于正负1,求证z-1/z+1是纯虚数
已知z属于c,且|z|=1,z不等于正负1,求证z-1/z+1是纯虚数

已知z属于c,且|z|=1,z不等于正负1,求证z-1/z+1是纯虚数
设z=cost+isint
--->|z|=1,1/z=z~=cost-isint
1)证：(z+1)/(z-1)
=[(cost+1)+isint]/[(sint-1)+isint]
={2[cos(t/2)]^2+2isin(t/2)cos(t/2)}/{-2[sin(t/2)]^2+2isin(t/2)cos(t/2)}
=2cos(t/2)/[-2isin(t/2)]*[cos(t/2+sin(t/2)/[isin(t/2)+cos(t/2)]
=icot(t/2)所以(z+1)/(z-1)在|z|=1的前提下是纯虚数

令z=a+bi且a^2+b^2=1又b不等于0
原式将分母化为实数分子变为（a+bi-1）*(a-bi+1)=a^2+b^2-1+2bi=2bi
b不等于0
为纯虚数

把Z-1/Z+1分母有理化，即同时乘Z+1得到Z平方—1/Z平方+2Z+1
然后Z绝对值为1则Z平方为1 故分子为0，则为纯虚数

设z=xi+yi 则x2+y2=1
z-1=（x-1）+yi
z+1=（x+1）+yi