作业帮在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 09:43:41
在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)
(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
在数列{an}中,a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)(n属于N)(1)求数列{an的通项公式;(2)求数列{nan/2^n}的前n项和Tn.
(1)设{nan}数列的前n项和为Sn,则
Sn=a1+2a2+3a3+.+nan=n(2n+1)=2n^2+n
所以
S(n-1)=(n-1)[2(n-1)+1]
=2n^2-3n+1
所以
nan=Sn-S(n-1)
=4n-1
所以an=-1/n+4(n∈N+)
(2)由(1)得
nan=4n-1
所以
nan/(2^n)=4×n/(2^n)-1/(2^n)
所以
Tn=4[1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)]-[1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)]
令Fn=1/2+2/(2^2)+3/(2^3)+.+n/(2^n)
Gn=(1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)则
1/2Fn=1/(2^2)+2/(2^3)+3/(2^4)+.+(n-1)/(2^n)+n/[2^(n+1)]
Fn-1/2Fn=1/2+1/(2^2)+1/(2^3)+.+1/(2^n)-n/[2^(n+1)]
即
1/2Fn=-(2+n)/[2^(n+1)]+1
Fn=-(2+n)/(2^n)+2
Gn=1-1/(2^n)
所以
Tn=4Fn-Gn
=-(4n+7)/(2^n)+7
当n=1时,
T1=3/2=a1/2=4/2-1/2=3/2
所以
Tn=-(4n+7)/(2^n)+7(n∈N+)
a1+2a2+3a3+....+ nan=n(2n+1)
a1+2a2+3a3+....+(n-1)a(n-1) =(n-1)[2(n-1)+1]
相减得nan=n(2n+1)-(n-1)[2(n-1)+1]2=2n^2+n-(n-1)(2n-1) =4n-1 an=4-1/n
设Sn=n(2n+1) S(n-1)=(n-1)(2n-1)
两式相减nan=4n-1
an=4-1/n
nan/2^n=4n/2^n-(1/2)^n
Tn=4[1/2+2/2^2+...+n/2^n]-[(1/2)+(1/2)^2+...+(1/2)^n]
=4[(1-n/2^n]-(1/2)*[1-(1/2)^n]/(1-1/2)
=3-(4n-1)/2^n
(1)根据题意知道：
a1+2a2+3a3+....+nan=n(2n+1)
那么
nan=n（2n+1）-（n-1）[2（n-1）+1]
解得 an=4-1/n
;(2)nan/2^n=（4n-1）/2^n=n/2^(n-2) -1/2^n
要分别求出n/2^(n-2) 和 -1/2^n的和……