作业帮证明：方程x^6-3x^2+1=0在区间【-1,2】上根的个数为4.刚才打错了，是在区间【-2，2】上
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/04 23:58:23
证明：方程x^6-3x^2+1=0在区间【-1,2】上根的个数为4.刚才打错了，是在区间【-2，2】上
证明：方程x^6-3x^2+1=0在区间【-1,2】上根的个数为4.
刚才打错了，是在区间【-2，2】上
证明：方程x^6-3x^2+1=0在区间【-1,2】上根的个数为4.刚才打错了，是在区间【-2，2】上
令x^2=t>=0,在t的区间为[0,4]
则原方程为t^3-3t+1=0
令f(t)=t^3-3t+1
f'(t)=3t^2-3=0,得：t=1为极值点
0=
【-1，2】上根的个数为3个，【-2，2】上根的个数为4个。由对称性，只证明在[0,2]有2根即可。
设y=x^6-3x^2+1,y'=6x^5-6x=6x(x^2+1)(x^2-1)
0
所以，【-2，2】上根的个数为4个。...
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【-1，2】上根的个数为3个，【-2，2】上根的个数为4个。由对称性，只证明在[0,2]有2根即可。
设y=x^6-3x^2+1,y'=6x^5-6x=6x(x^2+1)(x^2-1)
0
所以，【-2，2】上根的个数为4个。
【-1，2】上根的个数为3个根。
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令t=x^2
-2<=x<=2
则0<=t<=4
原方程为t^3-3t+1=0
考虑函数f(t)=t^3-3t+1与x轴的交点数
f(-∞)<0,f(0)=1>0,f(1)=-1<0,f(4)=53>0
f(t)为三次函数，最多与x轴有3个交点。
所以f(t)在(-∞,0)和(0,1)和(1,4)上分别有1个交点
所以f(t)在(0,...
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令t=x^2
-2<=x<=2
则0<=t<=4
原方程为t^3-3t+1=0
考虑函数f(t)=t^3-3t+1与x轴的交点数
f(-∞)<0,f(0)=1>0,f(1)=-1<0,f(4)=53>0
f(t)为三次函数，最多与x轴有3个交点。
所以f(t)在(-∞,0)和(0,1)和(1,4)上分别有1个交点
所以f(t)在(0,4)上有2个交点
即t^3-3t+1=0在(0,4)上有两解
又因为t=x^2
所以x在[-2，2]上有4解
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x^6-3x^2+1=0 ----(1)
设z=x^2
则：z^3-3z+1=0 ----(2)
把z限定在区间[0,4]，则相当于x在[-2,2]区间
设f(z)=z^3-3z+1
则：f'(z)=3z^2-3=3(z-1)(z+1)
当0<=z<1, f'(z)<0,f(z)单调递减
当1<=z<=4，f'(z)>0, f(x)单调递增<...
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x^6-3x^2+1=0 ----(1)
设z=x^2
则：z^3-3z+1=0 ----(2)
把z限定在区间[0,4]，则相当于x在[-2,2]区间
设f(z)=z^3-3z+1
则：f'(z)=3z^2-3=3(z-1)(z+1)
当0<=z<1, f'(z)<0,f(z)单调递减
当1<=z<=4，f'(z)>0, f(x)单调递增
所以f(1)为极值
而f(0)=1>0, f(1)=-1<0, f(4)=53>0
所以，方程(2)有两个正根
而z=x^2, x=正负(根号x)
所以，方程(1)有4个根，其中两个为正，另两个则为负。
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