在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/04/27 18:35:28

在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.
在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为a的正方形,E,F分别为PC,BD的中点,侧面PAD垂直
于底面ABCD,且PA=PD=(根号2/2)AD.(1)求证：EF//平面PAD; (2)求证：平面PAB垂直于平面PCD.

1、∵E是PC中点,F是AC的中点,

∴EF是△PAC的中位线,

∴EF//PA,

∵PA∈平面PAD,

∴EF//平面PAD,（直线平行于两面内的直线则必平行于该平面）.

2、取AD中点M,连结PM,

PM是△PAD的中线,

∵PA=PD=√2a/2,

∴△PAD是等腰△,

∴PM⊥AD,

∵平面PAD⊥平面ABCD,

∴PM⊥平面ABCD,（二平面垂直,若一平面内直线垂直交线,则垂直另一平面）,

∵CD∈平面ABCD,

∴PM⊥CD,

∵ 四边形ABCD是正方形,

∴CD⊥AD,

∵AD∩PM=M,

∴CD⊥平面PAD,

∵PA∈平面PAD,

∴CD⊥PA,

在△PAD中,PA^2+PD^2=a^2/2+a^2/2=a^2,

AD^2=a^2,

∴根据勾股定理逆定理,

△PAD是RT△,

∴PA⊥PD,

∵PD∩CD=D,

∴PA⊥平面PDC,

∵PA∈平面PAB,

∴平面PAB⊥平面PCD,证毕.

⑴ 设G是CD中点，EG∥＝PD/2 ﹙中位线﹚，FG∥＝BC/2﹙中位线﹚，BC∥AD
∴FG∥AD ∴平面EFG∥PAD EF∥PAD
⑵ 设H是AD中点，则PH⊥AD﹙三合一﹚，PAD⊥ABCD ∴PH⊥ABCD
PA=PD=(根号2/2)AD ∴⊿PAD等腰直角，PA⊥PD
∵AB⊥AD ∴AB⊥PA﹙三垂线定理﹚ AB∥DC∴PA⊥DC<...

全部展开

收起

PAD垂直ABCD，AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2
1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中，中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a...

全部展开

PAD垂直ABCD，AD中点M
AD=a
PM=√[(√2a/2)^2-(a/2)^2]=a/2
1
E、F是PC、BD中点
正方形ABCD
F也是AC中点
三角形PCA中，中位线EF//PA
EF//平面PAD
2
CM^2=DM^2+CD^2=a^2/4+a^2
PC^2=PM^2+CM^2=a^2/4+a^2/4+a^2=a^2/2+a^2
PC^2=PD^2+CD^2
PD垂直CD
PA^2+PD^2=AD^2
直角三角形PAD PA垂直PD
PAD垂直PCD
PA垂直PCD
PAB垂直PCD

收起

取CD中点G,连接EG,FG

则 FG⊥CD,EG⊥CD

∴CD⊥平面EFG

又CD⊥平面PAD

∴平面EFG∥平面PAD

∴EF//平面PAD

PA=PD=(根号2/2)AD

∴△PAD是直角△

∴PA⊥PD

又 PD⊥CD

PA⊥AB

∴ <APD是二面角

∴平面PAB垂直于平面PCD