作业帮高二用归纳法证明不等式的一道题 Ai>0(i=1,2,3...n) 且A1 +A2+.+An=1证明A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n (n>=2 属于整数）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/26 03:28:20
高二用归纳法证明不等式的一道题 Ai>0(i=1,2,3...n) 且A1 +A2+.+An=1证明A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n (n>=2 属于整数）
高二用归纳法证明不等式的一道题
Ai>0(i=1,2,3...n) 且A1 +A2+.+An=1
证明A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n (n>=2 属于整数）
高二用归纳法证明不等式的一道题 Ai>0(i=1,2,3...n) 且A1 +A2+.+An=1证明A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n (n>=2 属于整数）
A1 +A2+.+An=1
(A1 +A2+.+An)^2=A1^2+A2^2+...+An^2+2(A1A2+A2A3+……）＝1 （1）
记A＝A1^2+A2^2+...+An^2 = n (A1^2+A2^2+...+An^2)/ n
B＝2(A1A2+A2A3+……）
由基本公式 a^2+b^2>=2ab
A1^2+A2^2>=2A1A2
A2^2+A3^2>=2A2A3
……
上述n-1个等式相加
得 (n-1)A>=B （2）
综合（1）和（2）得到A1^2+A2^2+...+An^2>=1/n
\直接用柯西不等式，向量内积绝对值小于或等于向量长度之积
(A1,A2,...,An)·(1/n,1/n,1/n...,1/n)≤|(A1,A2,...,An)||(1/n,1/n,1/n...,1/n)|
即[(A1 +A2+.....+An)/n]^2≤(A1^2+A2^2+...+Ak^2)/n就出来了
或者(A1 +A2+.....+An)^2=A1^2+A2^2+...
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\直接用柯西不等式，向量内积绝对值小于或等于向量长度之积
(A1,A2,...,An)·(1/n,1/n,1/n...,1/n)≤|(A1,A2,...,An)||(1/n,1/n,1/n...,1/n)|
即[(A1 +A2+.....+An)/n]^2≤(A1^2+A2^2+...+Ak^2)/n就出来了
或者(A1 +A2+.....+An)^2=A1^2+A2^2+...+An^2+2A1A2+2A1A3+...
两项相乘的有C(n,2)=n(n-1)/2项
2A1A2≤A1^2+A2^2
2A1A3≤A1^2+A3^2
...
故A1^2有n-1项
Ai^2都有n-1项
所以1=A1^2+A2^2+...+An^2+2A1A2+2A1A3+...≤n(A1^2+A2^2+...+An^2)
所以A1^2+A2^2+...+An^2≥1/n
用数学归纳法反而不好证啊
收起
(1)当n=2是等式显然成立；
(2)假设当n=k时成立，即有A1^2+A2^2+...+Ak^2>=1/k成立；
当n=k+1时 有 A1^2+A2^2+...+Ak^2+(Ak+1)^2>=1/k+(Ak+1)^2>1/(k+1)
所以有A1^2+A2^2+...+Ak^2+(Ak+1)^2>=1/(k+1)成立
综上命题得证