作业帮已知O为坐标原点,过点P（2,1）的直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点若直线l与直线y=2x交于点C,求三角形AOC的面积的最小值及此时直线l的方程
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 03:33:11
已知O为坐标原点,过点P（2,1）的直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点若直线l与直线y=2x交于点C,求三角形AOC的面积的最小值及此时直线l的方程
已知O为坐标原点,过点P（2,1）的直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点
若直线l与直线y=2x交于点C,求三角形AOC的面积的最小值及此时直线l的方程
已知O为坐标原点,过点P（2,1）的直线l与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点若直线l与直线y=2x交于点C,求三角形AOC的面积的最小值及此时直线l的方程
l过点P（2,1）,与x轴,y轴的正半轴分别交于A,B两点
设l的斜率为K,则k 2x-1=k(x-2)
==> x=(2k-1)/(k-2)
y=(4k-2)/(k-2)
∴三角形AOC的面积
S=1/2|OA|*|4k-2|/|k-2|
=(2-1/k)*(2k-1)/(k-2)
=(2k-1)²/(k²-2k)
=(4k²-4k+1)/(k²-2k)
=[(4k²-8k)+(4k+1)]/(k²-2k)
=4+(4k+1)/(k²-2k)
设4k+1=t,k=(t-1)/4
S=4+t/[(t-1)²/16-(t-1)/2]
=4+16t/(t²-10t+9)
=4+16/(t+9/t-10)
∵t0
∴-t+(-9/t)≥6 【当且仅当t=t/9,t=-3时,取等号】
∴t+9/t≤-6
∴t+9/t-10≤-16
∴-1≤16/(t+9/t-10)
由题意可知直线l的斜率k＆lt；08且由直线的点斜式方程得到直线l的方程：y－1＝k（x－2），即y＝kx－2k＋1令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1令y＝0，代入方程得x＝（2k－1）＆＃47；k所以直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是点A（ （2k－1）＆＃47；kzdh0 ） 1739点B（0，－2k＋1）则易知OA＝（2k－1）＆＃47；k，OB＝－2k＋1所以：OA＋OB＝（2k－1）＆＃...
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由题意可知直线l的斜率k＆lt；08且由直线的点斜式方程得到直线l的方程：y－1＝k（x－2），即y＝kx－2k＋1令x＝0，代入方程得y＝－2k＋1令y＝0，代入方程得x＝（2k－1）＆＃47；k所以直线l与x轴、y轴的交点坐标分别是点A（ （2k－1）＆＃47；kzdh0 ） 1739点B（0，－2k＋1）则易知OA＝（2k－1）＆＃47；k，OB＝－2k＋1所以：OA＋OB＝（2k－1）＆＃47；k －2k＋1＝3＋（－1＆＃47；k －2k）因为k＆lt；03即－1＆＃47；k＆gt；0，－2k＆gt；0所以由均值定理得：－1＆＃47；k －2k≥2√［（－1＆＃47；k）＊（－2k）］＝2√2 （当且仅当－1＆＃47；k ＝－2k即k＝－√2＆＃47；2时取等号）这就是说当k＝－√2＆＃47；2madOA＋OB有最小值3＋2√2所以此时直线l的方程是：y＝（－√2＆＃47；2）＊x ＋√2 ＋1
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