已知a〉0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于2均值不等式,已经空了一道了,明天要交啊,

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/13 12:02:13
已知a〉0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于2均值不等式,已经空了一道了,明天要交啊,

已知a〉0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于2均值不等式,已经空了一道了,明天要交啊,
已知a〉0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于2
均值不等式,已经空了一道了,明天要交啊,

已知a〉0,b>0,且a+b=1,求证根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于2均值不等式,已经空了一道了,明天要交啊,
y=√(a+1/2)+√(b+1/2)
y^2=a+1/2+b+1/2+2√[(a+1/2)(b+1/2)]
=1+(a+b)+2√[(a+1/2)(1-a+1/2)]
=2+2√(3/4+a-a^2)
=2+2√[1-(1/2-a)^2]
当a=1/2时,y^2有最大值4,即y=2

令y=根号(a+1/2)+根号(b+1/2)
则:y^2=a+ 1/2 +b + 1/2 +2*根号[(a+ 1/2)(b+ 1/2)]
=2+2*根号[(a+ 1/2)(b+ 1/2)]
而:(a+ 1/2) + (b+ 1/2)=2=定值
所以:当a + 1/2 = b + 1/2 =1时,(a+ 1/2)(b+ 1/2)最大,为1
所以:y^2<=2+2*1=4
y<=2
即根号下a+1/2+根号下b+1/2小于等于