作业帮将函数f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x展成x的幂级数
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/08 21:04:28
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将函数f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x展成x的幂级数
将函数f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x展成x的幂级数
将函数f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x展成x的幂级数
先整理：
f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x
=1/4ln[(1+x)/(1-x)]+1/2arctanx-x
因1/4ln(1+x)/(1-x)=1/4×2(x+x^3/3+x^5/5+x^7/7+.)
1/2arctanx=1/2×(x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+.)
所以f(x)=1/4[ln(1+x)-ln(1-x)]+1/2arctanx-x=x^5/5+x^9/9+x^13/13+.(-1
ln(1+x)=x-1/2*X^2+1/3*X^3-....+(-1)^(n-1)*1/n*X^n ln(1-X) 类似，只是把X换成-x
arctanx=(-1)^n/(2n+1) * X^(2n+1) (n=0,1,2,.........)
最后相加得 x^n/n (n=5,9,13,...,4K+1,.......)
f'(x)=1/4[1/(1+x)+1/(1-x)]+1/[2(1+x²)]-1
=1/[2(1-x²)]+1/[2(1+x²)]-1
=1/(1-x^4)-1
=x^4/(1-x^4)
∞
= ∑ x^(4n)
n=1
...
全部展开
f'(x)=1/4[1/(1+x)+1/(1-x)]+1/[2(1+x²)]-1
=1/[2(1-x²)]+1/[2(1+x²)]-1
=1/(1-x^4)-1
=x^4/(1-x^4)
∞
= ∑ x^(4n)
n=1
∞
逐项积分得原函数f(x)= ∑ x^(4n+1)/(4n+1).(-1
请采纳！谢谢！
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