作业帮空函数何时是单射?满射?双射?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/02 05:01:46
空函数何时是单射?满射?双射?
空函数何时是单射?满射?双射?
空函数何时是单射?满射?双射?
我也是来找这个问题的答案的,陶哲轩实分析,3.3.3题.我目前有个答案,但拿不准,共同研究吧.作为初学者,我的证明实在粗疏,而且有很多个人的不成熟的想法,希望能得到批评指正.
我先问一个问题：如果有运动员拿着枪进了靶场,在入口处管理员按照规定把所有的这种枪适合的子弹都给了他.运动员按照规定打完了所有的子弹.等他打完靶走了,服务员进去一看,对面的靶墙（巨大无比,能保证所有的发射的子弹都有个弹着点.）上没有任何弹痕.
服务员的判断是什么?
判断：只要子弹射出,在墙上就会有弹痕.没有弹痕,说明枪没有射出子弹.运动员按规定射出了所有的子弹,而且枪没射出子弹,说明所有的子弹数量为0.管理员已经把所有适合枪的子弹给了射击者,说明适合这把枪的子弹不存在,说明这是把坏枪.
尽管这个运动员和管理员都很无聊,但他们可都是按规定做的,没有违反规定的地方.
这个故事可以给我们一些提示.
1）什么是空函数
f:空集---->X,空函数没有任何输出.
如果做一个比喻：一般函数好比正常的枪,装进子弹,在对面的靶墙上必然会有一个弹着点.
空函数就好比一把有缺陷的枪,因为弹仓坏了,装不进任何子弹,所以即使扣动扳机,对面的 靶墙上也不会有弹着点.
2）什么是定义域
定义域是符合你那把枪的子弹,比如函数为实数x的平方根,x的定义域显然不能是负数.所以定义域一定要符合函数的要求.
空函数的定义域,就像那把有缺陷的枪,没有子弹能符合它的要求,它的定义域就是空.
3）什么是单射
根据定义：当x1不等于x2,则f(x1)不等于f(x2).
据此要判断函数是否是单射,定义域中至少需要两个元素.但我们知道,假如有两个集合：
X={1},Y={1},函数是y=x.这样定义域中没有两个元素,但我要问你,这是不是单射?你肯定说是.为什么定义域没有两个元素,仍然凭我们的经验判断为单射呢?
从单射这个概念提出的目的谈起,我想单射的提出是为了防止两个子弹的着弹点在同一个弹痕,这样我们就没法只根据着弹点判断究竟来源于哪个子弹.
只要我们能够根据着弹点情况判断出究竟子弹的情况就满足单射提出的目的.这也是空函数如何研究单射性质的出发点.
经过这个故事,我想可以证明如下
证明：
1）证明何时为单射
单射：这个函数把定义域中所有元素操作了一次,在值域中没有取出任何相应的元素,像上面的故事一样,我们可以判断这个函数的定义域是空集.所以做到了从值域判断定义域的情况,所以是单射.
（如果值域是可数集,似乎可以采用归纳法证明,但对于值域是非可数集,我不知道归纳法还能不能起作用.）
2）满射
满射是值域中所有元素在定义域中都能找到相应元素.对空函数,值域中任何元素都不能对应到定义域,除非没有元素.因此,只有当值域是空集的时候,空函数才是满射.
3）双射
双射就是单射+满射.如果想同时成立,根据上面的两个分析,只有值域是空集时,才能双射.
因为基础实在太烂,没有采用数学符号.欢迎指正.