作业帮1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/05 07:50:43
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数
小学的奥数题
1991个1991依次连写组成一个多位数,求这个多位数被13除的余数小学的奥数题
1991个1991依次写除以1991是
10001……1001
共含有1991个1
10001……10001=1+10^4+10^8+……+(10^4)^1990
而10^4≡3(MOD13)
所以
1+10^4+10^8+……+(10^4)^1990≡1+3+3^2+……3^1990(MOD13)
而1+3+3^2+……+3^1990
=(1+3^3+3^+……+3^1989)
+3(1+3^3+3^+……+3^1989)
+3^2(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
=(1+3+9)(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
=13(1+3^3+3^+……+3^1989)-3^1991
所以
19911991……19911991≡1991*(1+3+3^2+……+3^1990)≡1991*(-3^1991)≡-1991*9*3^1989≡-1991*9*27^663(MOD13)
而27^336≡(2*13+1)^336≡1(MOD13)
所以
19911991……19911991≡-1991*9≡-2*9≡-18≡8(MOD13)
即余数为8.
因为199119911991/13=15316916307
即3个1991所组成的数是13的倍数，
又因为 1991/13=153……2
所以1991个1991依次连写组成一个多位数除以13的余数与2个1991组成的多位数除以13的余数相同
19911991/13=1531691……8
所以这个多位数被13除的余数是8
可写成1991*100010001000...10001，因为13可被111111整除，所以可被100010001000100010001整除，共6个1，1991除以6的余数为5，1991除以13的余数为2，因此可转化为求2*10001000100010001的余数，100010001000100010001=10001000100010001+1+999...9(20个9)，999...9（20...
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可写成1991*100010001000...10001，因为13可被111111整除，所以可被100010001000100010001整除，共6个1，1991除以6的余数为5，1991除以13的余数为2，因此可转化为求2*10001000100010001的余数，100010001000100010001=10001000100010001+1+999...9(20个9)，999...9（20个9）=999...91+8,999...9(18个9)可被13整除(18是6的倍数)，所以10001000100010010可被13整除，因此10001000100010001除以13余4，则2*10001000100010001余8
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