在边长为m的正△ABC中O为中心,过点O的直线交AB于M,交AC于N求1/ON² +1 /OM² 的最大值和最下值

在边长为m的正△ABC中O为中心,过点O的直线交AB于M,交AC于N求1/ON² +1 /OM² 的最大值和最下值
在边长为m的正△ABC中O为中心,过点O的直线交AB于M,交AC于N
求1/ON² +1 /OM² 的最大值和最下值

在边长为m的正△ABC中O为中心,过点O的直线交AB于M,交AC于N求1/ON² +1 /OM² 的最大值和最下值
延长BO、CO分别交AC、AB于D、E,可知,
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ,则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ),
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM²+1/ON²=(36cos² (θ)+ 36cos² (60°-θ))/(3m²)
=12(cos² (θ)+ cos² (60°-θ))/m²
化简后,上式=12(1+sin(2θ+30°)/2)/m²
∵0°≤θ≤60°
∴30°≤2θ+30°≤150°
∴1/2≤sin(2θ+30°)≤1
∴max(1/OM²+1/ON²)=18/m²,min(1/OM²+1/ON²)=15/m²

延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos^2(θ)+ 36cos^2(60°-θ))/(3m^2)
=12(cos^2...

全部展开

延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos^2(θ)+ 36cos^2(60°-θ))/(3m^2)
=12(cos^2(θ)+ cos^2(60°-θ))/m^2
化简后，上式=12(1+sin(2θ+30°)/2)/m^2
∵0°≤θ≤60°
∴30°≤2θ+30°≤150°
∴1/2≤sin(2θ+30°)≤1
∴max(1/OM^2+1/ON^2)=18/m^2，min(1/OM^2+1/ON^2)=15/m^2
这样

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画图列方程

延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos^2(θ)+ 36cos^2(60°-θ))/(3m^2)
=12(cos^2...

全部展开

延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos^2(θ)+ 36cos^2(60°-θ))/(3m^2)
=12(cos^2(θ)+ cos^2(60°-θ))/m^2
化简后，上式=12(1+sin(2θ+30°)/2)/m^2
∵0°≤θ≤60°
∴30°≤2θ+30°≤150°
∴1/2≤sin(2θ+30°)≤1
∴max(1/OM^2+1/ON^2)=18/m^2，min(1/OM^2+1/ON^2)=15/m^2

收起

延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos²θ+ 36cos²(60°-θ))/(3m²)

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延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos²θ+ 36cos²(60°-θ))/(3m²)
=12(cos^2(θ)+ cos^2(60°-θ))/m²
=12(1+sin(2θ+30°)/2)/m²
∵0°≤θ≤60°
∴30°≤2θ+30°≤150°
∴1/2≤sin(2θ+30°)≤1
∴max(1/OM^2+1/ON^2)=18/m²，min(1/OM^2+1/ON^2)=15/m²
可以了吗?

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延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos²θ+ 36cos²(60°-θ))/(3m²)

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延长BO、CO分别交AC、AB于D、E，可知，
OD=OE=√3m/6
设∠EOM=θ，则0°≤θ≤60°
OM=OE/cosθ= √3m/（6 cosθ)，
ON=OD/cos(60°-θ)= √3m/（6 cos(60°-θ))
1/OM^2+1/ON^2=(36cos²θ+ 36cos²(60°-θ))/(3m²)
=12(cos^2(θ)+ cos^2(60°-θ))/m²
化简后，上式=12(1+sin(2θ+30°)/2)/m²
∵0°≤θ≤60°
∴30°≤2θ+30°≤150°
∴1/2≤sin(2θ+30°)≤1
∴max(1/OM^2+1/ON^2)=18/m²，min(1/OM^2+1/ON^2)=15/m²

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以BC为x 轴，AO为y轴建立平面直角坐标系
则A（0，√3*m/2）B(-m/2,0) C(m/2,0) O(0,√3*m/6)
AB方程：y=√3(x+m/2) AC方程：y=-√3(x-m/2)
设MN方程y=kx+√3m/6 -√3≤k≤√3
有方程解得M（m/(√3k-1),km/(√3k-1)+√3m/6）
...

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以BC为x 轴，AO为y轴建立平面直角坐标系
则A（0，√3*m/2）B(-m/2,0) C(m/2,0) O(0,√3*m/6)
AB方程：y=√3(x+m/2) AC方程：y=-√3(x-m/2)
设MN方程y=kx+√3m/6 -√3≤k≤√3
有方程解得M（m/(√3k-1),km/(√3k-1)+√3m/6）
N (m/(√3k+1),mk/(√3k+1)+√3m/6)
故ON^2=m^2(1+k^2)/[(√3k+1)^2]
OM^2=m^2(1+k^2)/[(√3k-1)^2]
故1/ON² +1 /OM² =2（3k^2 +1）/[m^2(1+k^2)]
=[6-4/(1+k^2)]/(m^2)
易得原式max=5/(m^2) min=2/(m^2)

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