已知数列 an>0 an+1/an=2Sn 求an

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/01 03:32:35
已知数列 an>0 an+1/an=2Sn 求an

已知数列 an>0 an+1/an=2Sn 求an
已知数列 an>0 an+1/an=2Sn 求an

已知数列 an>0 an+1/an=2Sn 求an
因S1=a1
则a1+1/a1=2a1
注意到a1>0
解得a1=1
因Sn-S(n-1)=an(*)
则(an+1/an)-[a(n-1)+1/a(n-1)]=2an
即an+a(n-1)=1/an-1/a(n-1)
由此有(a2+a1)+(a3+a2)+(a4+a3)+...+(an+a(n-1))=1/an-1/a1=1/an-1
即有(1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an
注意到a1=1
即有(a1+a2+a3+...+an)+(a1+a2+a3+...+a(n-1))=1/an
即有Sn+S(n-1)=1/an(**)
由(*)(**)得Sn^2-S(n-1)^2=1
表明数列{Sn^2}为公差为1的等差数列
显然首项S1^2=a1^2=1
易知通项Sn^2=n
考虑到an>0
则Sn>0
所以Sn=√n
由an+1/an=2Sn
则an+1/an=2√n
解得an=√n±√(n-1)