已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积：①已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 08:56:23

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积：①已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下
已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积：①
已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下列向量的数量积：①向量AB乘向量AC ②向量AD乘向量DB ③向量GF乘向量AC
④向量EF乘向量BG ⑤向量FG乘向量BA ⑥向量GE乘向量GF

已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a,点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点,求下列向量的数量积：①已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于a，点E、F、G分别为AB、AD、DC的中点，求下
①AB•AC=AD•DB=a²cos60º=a²/2
②GF,EF,FG,都是边长为a的等边三角形的中位线,其模都等于a/2.故
③GF•AC=a×(a/2)cos180º=-a²/2
④EF•GB=(a/2)(asin60º)(cos120º)=-(√3/8)a²
⑤FG•BA=(a/2)(a)cos120º=-a²/4
⑥GE•GF={√[(a/2)²+(a√3/2)²]}(a/2)cos45º=(√2/4)a²
【ABCD是个正四棱锥,各向量的夹角和其模的大小请自己画图验证,因为不好画图,即使画了,也说不清楚,故把计算过程都省去了,这是没法子的事,请见谅.】
【注意两个相量相乘时要把它们的起点挪到(平行挪动)同一个点上以后再确定它们的夹角】

由题意知为正四面体，相邻边夹角为60度，由此，解决1，2。又E，F，G为中点，得GF平行AC，EF平行BG，由此解决3，4。又FG平行AC，所以5等价于AC与BA的向量积的一半。GE=GF+FE，然后再与GF相乘，其中，因为四面体是正四面体，所以对边垂直，所以AC垂直于BD，得到EF垂直于FG，然后就可以算啦。因为我是用手机写的，好多符号没能表示，请见谅啊，不过整体思路我都给你啦，希望你能亲自做...

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实际上这个空间四边形的对角线连上后就是一个正三棱锥因为每条边和对角线都相等啊这样你就可以证明出每两条边的夹角的大小我相信你两个向量相乘会做的吧

①AB•AC=AD•DB=a²cos60º=a²/2

②AD•DB=a²cos60º=a²/2

<GF，EF，都是边长为a的等边三角形的中位线，其模都等于a/2.故>

③GF•AC=a×(a/2)cos180º=-a²/2

④EF•BC=(a/2)xacos60º=a²/4

⑤FG•BA=(a/2)(a)cos120º=-a²/4

⑥GE•GF=)=(√2/2)axa/2cos45º=(√2/4)a²cos45º=a²/4