设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/02 18:10:12

设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,
设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,

设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明,
设函数f(x)可导,F(x)=f(x)(e^x+|sin2x|),则f(0)=0是F(X)在x=0处可导的什么条件?求证明.
证明：f(0)=0是F(X)在x=0处可导的充要条件.证明如下：
先证充分性.
当x在0的左侧时,F(x)=f(x)(e^x-sin2x).(1)
当x在0的右侧时,f(x)=f(x)(e^x+sin2x).(2)
将(1)对x求导：
F′(x)=f′(x)(e^x-sin2x)+f(x)(e^x-2cos2x)；故F′(0ֿ)=f′(0)-f(0).(3)
将(2)对x求导：
F′(x)=f′(x)(e^x+sin2x)+f(x)(e^x+2cos2x)；故F′(0+)=f′(0)+3f(0).(4)
由(3)(4)可见：当f(0)=0时就有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),即F(x)在x=0处的左右导数都存在而且相等,
因此F(x)在x=0处可导；故f(0)=0是F(x)在x=0处可导的充分条件.
再证必要性：
如果F(x)在x=0处可导,则必有F′(0ֿ)=F′(0+)=f′(0),由(3)(4)可见,此时必有f(0)=0；因此f(0)=0
是F(x)在x=0处可导的必要条件.

设f(x)、g(x)都是可导函数,且|f'(x)|a时,|f(x)-f(a)||f'(x)| 设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x 设函数f(x)可导,则 [sin f(x)]'= (A)sin f'(x) (B)cos f'(x) (C)f'(x)cos f(x) (D)f(x)cos f'(x) 设函数f(x) 可导,且f(0)=1 ,f'(-lnx)=x ,则f(1)= 设f(x)为可导函数,且满足f(x)=∫（上限X下线1）f(t)/tdt+(x-1)e^x求f(x) 设函数f ( x )可导,y= f ( x )cos f ( x )的导数为（）.A:y'= f′( x )cos f ( x )- f( x )sin (f ( x )) f′( x ) B:y ′=-f′( x )sin f ( x ) C:y ′= f′( x )cos f ( x )+ f( x )sin (f ( x )) f′( x ) D:y ′= f′( x )cos f ( x )-f( x )s 设f(x)为可导函数,y=sin{f[sinf(x)]} dy/dx= 设函数f(x) 可导,又y=f(-x) ,则 y'= 设f(x)可导,求函数y=f(x^2)的导数设f(x)为可导函数,求dy/dx:y=f(arcsin(1/x)) 设f x 为可导函数,y=f^2(x+arctanx),求dy/dx 设F(X)是一个可导函数,则∫F’(X)dx=? 设函数f（x）在点x可导,则 lim(△x->0) f(x+Δx)-f(x-Δx)/Δx=? 设函数f(x)可导,且满足xf'(x)=f'(-x)+1,f(0)=0,求函数f(x)的极值设函数f(x)可导,且满足f(x)-∫(上限为x,下限为0)f(t)dt=e^x,求f(x) 需要详解, 设函数f(x)可导,且满足f(x)=x²+∫(0~x)f(t)dt 求f(x)如题 8、设f(x)为可导函数,且满足∫0到x f(t)t^2 dt=f(x)+3x 求f(x) 设函数f(x)可导,且满足f(x)=x^2+∫0～x f(t)dt,求f(x)