作业帮求三角形BEF面积最小值等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A.D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE加CF等于a.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/12 20:41:56
求三角形BEF面积最小值等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A.D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE加CF等于a.
求三角形BEF面积最小值
等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A.D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE加CF等于a.
求三角形BEF面积最小值等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a,现在把它们拼合起来,E是AD上异于A.D两点的一动点,F是CD上一动点,满足AE加CF等于a.
S△BEF=S△ABD+S△BCD-S△ABE-S△BCF-S△DEF
∵等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a
∴S△ABD=S△BCD=（根号3/4）a²
S△ABE+S△BCF=（1/2）AE*AE边上的高+（1/2）CF*CF边上的高=（1/2）（AE+CF）*等边三角形ABD的高=（1/2）a*等边三角形ABD的高=S△ABD=（根号3/4）a²
∴S△BEF=（根号3/4）a²-S△DEF
S△DEF=（1/2）DE*DE边上的高=（1/2）DE*DF*sin60°
∵AE+CF=a,AE+DE+DF+CF=AD+CD=2a
∴DE+DF=a
∴S△BEF=（根号3/4）a²-S△DEF=（根号3/4）a²-（1/2）DE*（a-DE）*（根号3/2）
=（根号3/4）*（a²+DE²-a*DE）
∴当DE=a/2时,S△BEF最小值=（3根号3/16）a²
十六分之三倍根号三 a的平方
AE+CF=a 又因为由B到AE CF 的高是固定的 相等的 所以三角形bcf和三角形bae面积之和为恒量即四分之根号三a的平方
由角bdf和角bde都等于60度 可以得出 由e f两点向bd引垂线 分别交bd与点gh 则eh=二分之根号三ed fh=二分之根号三df df+ed=a 所以 三角形BEF面积最小时 （...
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十六分之三倍根号三 a的平方
AE+CF=a 又因为由B到AE CF 的高是固定的 相等的 所以三角形bcf和三角形bae面积之和为恒量即四分之根号三a的平方
由角bdf和角bde都等于60度 可以得出 由e f两点向bd引垂线 分别交bd与点gh 则eh=二分之根号三ed fh=二分之根号三df df+ed=a 所以 三角形BEF面积最小时 （ef与bd交点o）od最小
又由对称性可知 ef分别为ad cd 中点
所以 三角形BEF面积最小值 十六分之三倍根号三 a的平方
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因为AE+CF=a
等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a
所以 AE=DF
又AB=BD
角BAD=角BDC=60º
所以三角形ABE≌三角形BDF
则 BE=BF
角ABE=角DBF
所以角EBF=角ABD-角ABE+角DBF=60º
因此三角形BEF为等边三角...
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因为AE+CF=a
等边三角形ABD与等边三角形CBD的边长均为a
所以 AE=DF
又AB=BD
角BAD=角BDC=60º
所以三角形ABE≌三角形BDF
则 BE=BF
角ABE=角DBF
所以角EBF=角ABD-角ABE+角DBF=60º
因此三角形BEF为等边三角形，设它的边长为b, 则
面积=1/2*b*1/2b*根号3=1/4* b² * 根号3
所以当b最小时， 面积有最小值
因为当BE⊥AD时，BD最小
所以 BD=1/2*a*根号3
三角形BEF面积=1/4* b² * 根号3=1/4*3/4*a² *根号3=3/16*根号3 * a²
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因为AE+CF=a，所以AE=DF，又BA=BD，夹角都等于60度，所以
三角形BAE全等于三角形BDF，所以BE=BF，又角ABE=角DBF，易得
角EBF=60度，所以三角形BEF是等边三角形。
三角形BEF面积S=√3/4BE^2，要使面积最小，只需BE最小。
当BE垂直AD时，BE最小是(√3/2)a，所以三角形BEF面积的最小值是(3√3/16)a^2....
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因为AE+CF=a，所以AE=DF，又BA=BD，夹角都等于60度，所以
三角形BAE全等于三角形BDF，所以BE=BF，又角ABE=角DBF，易得
角EBF=60度，所以三角形BEF是等边三角形。
三角形BEF面积S=√3/4BE^2，要使面积最小，只需BE最小。
当BE垂直AD时，BE最小是(√3/2)a，所以三角形BEF面积的最小值是(3√3/16)a^2.
收起