△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证AB²=AD²+BD²+2CD²

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/29 17:19:37
△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证AB²=AD²+BD²+2CD²

△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证AB²=AD²+BD²+2CD²
△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证AB²=AD²+BD²+2CD²

△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,求证AB²=AD²+BD²+2CD²
因为AC²=CD²+AD²
CB²=CD²+DB²
AB²=AC²+CB²
所以AB²=AD²+BD²+2CD²
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证:
∵CD⊥AB
∴△ADC、△BDC为RT△
RT△ABC中,AB²=AC²+BC²
RT△ADC中,AC²=AD²+CD²
RT△BDC中,BC²=BD²+CD²
∴AB²=AC²+BC²=(AD²+CD²)+(BD²+CD²)=AD²+BD²+2CD²

根据直角三角形的特性,CD^2=BD*AB
AB^2=(AD+BD)^2=AD^2+BD^2+2BD*AD=AD^2+BD^2+2CD^2