已知cosα=5/13,cos(α+β)=-4/5,且α,β∈(0,π/2),则cosβ=?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 23:53:39
已知cosα=5/13,cos(α+β)=-4/5,且α,β∈(0,π/2),则cosβ=?

已知cosα=5/13,cos(α+β)=-4/5,且α,β∈(0,π/2),则cosβ=?
已知cosα=5/13,cos(α+β)=-4/5,且α,β∈(0,π/2),则cosβ=?

已知cosα=5/13,cos(α+β)=-4/5,且α,β∈(0,π/2),则cosβ=?
sinα=±√[1-(cosα)^2]=±12/13
∵α∈(0,π/2)
∴sinα=12/13
令α+β=θ ,则cos(α+β)=cosθ
sinθ=±√[1-(cosθ)^2]=±3/5
∵α,β∈(0,π/2)
∴α+β∈(0,π)
即:θ∈(0,π)
∴sinθ=3/5
即:sin(α+β)=3/5
cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα + sin(α+β)sinα =16/65

cosα=5/13,α,β∈(0,π/2),
sinα=12/13,
cos(α+β)=-4/5,
α+β∈(0,π),
sin(α+β)=3/5,
sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα
(12/13)cosβ+sinβ(5/13)=3/5,(1)
cos(α+β)=cosαcosβ-sinα*sinβ
(5/13)*cosβ-(12/13)*sinβ=-4/5,(2)
(1)*12+(2)*5式,
cosβ=16/65.

因为α,β∈(0,π/2),则易得sina=12/13,sin(a+b)=3/5
然后,b=a+b-a
所以cosb=cos(a+b)cosa+sin(a+b)sina
=-4/5*5/13+12/13*3/5
=-20/65+36/65
=16/65