数学空间向量 怎样判断共线共面OP=XOA+YOB+ZOC 则X+Y+Z=1吗

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/07 05:00:23
数学空间向量 怎样判断共线共面OP=XOA+YOB+ZOC 则X+Y+Z=1吗

数学空间向量 怎样判断共线共面OP=XOA+YOB+ZOC 则X+Y+Z=1吗
数学空间向量 怎样判断共线共面
OP=XOA+YOB+ZOC 则X+Y+Z=1吗

数学空间向量 怎样判断共线共面OP=XOA+YOB+ZOC 则X+Y+Z=1吗
已知空间任意一点O和不共线的三点A.B.C,则点P位于平面ABC内的充要条件是:存在x.y.z∈R,满足x+y+z=1 使OP=xOA+yOB+zOC.
证明:(充分性)
∵x+y+z=1
∴ z=1-x-y
又∵OP=xOA+yOB+zOC
∴ OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC
OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC
OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC)
∴ CP=xCA+yCB
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,点P位于平面ABC内
∴ 充分性成立
(必要性)
∵点P位于平面ABC内
又由已知条件A、B、C三点不共线可得CA、CB是不共线向量
∴ 根据平面向量的基本定理可知,存在实数x,y使得
CP=xCA+yCB
∴ OP-OC=x(OA-OC)+y(OB-OC)
OP=x(OA-OC)+y(OB-OC)+OC
OP =xOA+yOB+(1-x-y)OC
令z=1-x-y
则x+y+z=1 且 OP=xOA+yOB+zOC
即,存在实数x、y、z满足x+y+z=1,使得OP=xOA+yOB+zOC
∴ 必要性成立

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