作业帮设a,b,c是不全相等的正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/05/06 19:54:43
设a,b,c是不全相等的正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
设a,b,c是不全相等的正数,求证
(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
设a,b,c是不全相等的正数,求证(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
1.a+b>=2*根号下（ab）,当且仅当a=b时取等号；
b+c>=2*根号下（bc）,当且仅当b=c时取等号；
a+c>=2*根号下（ac）,当且仅当a=c时取等号；
将上面三式相乘,又有a,b,c是不全相等的所以就有：
(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
2.a+b>=2*根号下（ab）,当且仅当a=b时取等号；
b+c>=2*根号下（bc）,当且仅当b=c时取等号；
a+c>=2*根号下（ac）,当且仅当a=c时取等号；
将上面三式相加,又有a,b,c是不全相等的所以就有：
2a+2b+2c>2*根号下（ab）+2*根号下（bc)+2*根号下（ac）
两边同除2就得到了第二个不等式!
a+b>=2*(ab)^1/2...(1)
b+c>=2*(bc)^1/2...(2)
c+a>=2*(ca)^1/2...(3)
(1)*(2)*(3)>8abc
即证.
符号不好打,所以用文字好了(符号自己改过来就行了)
因为abc都是正数,所以a+b大于或等于2倍根号a*b
同理,b+c大于或等于2倍根号b*c
c+a大于或等于2倍根号c*d
所以(a+b)(b+c)(c+a)>8abc
a+b>2乘根号ab
b+c>2乘根号bc
a+c>2乘根号ac
所以(a+b)(b+c)(c+a)>（2乘根号ab）（2乘根号bc）（2乘根号ac）=8abc
。。。。我回答的好晚。。。。
a+b≥2 倍根号下ab
同理c+b≥2倍根号下cb
a+c≥2 倍根号下ac
相乘得(a+b)(b+c)(c+a)≥8abc
因为a,b,c是不全相等的正数,所以取不到=