100分的一道数学题已知A＝｛X|X＝28M+20N,M,N属于Z｝,B＝｛X|X＝12M+18N,M,N属于Z｝,求属于A交B的最小正整数,并分别求出一组此时在A和B中的M,N的值

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/08 15:23:30

100分的一道数学题已知A＝｛X|X＝28M+20N,M,N属于Z｝,B＝｛X|X＝12M+18N,M,N属于Z｝,求属于A交B的最小正整数,并分别求出一组此时在A和B中的M,N的值
100分的一道数学题
已知A＝｛X|X＝28M+20N,M,N属于Z｝,B＝｛X|X＝12M+18N,M,N属于Z｝,求属于A交B的最小正整数,并分别求出一组此时在A和B中的M,N的值

100分的一道数学题已知A＝｛X|X＝28M+20N,M,N属于Z｝,B＝｛X|X＝12M+18N,M,N属于Z｝,求属于A交B的最小正整数,并分别求出一组此时在A和B中的M,N的值
研究A,x=28m+20n=4(7m+5n),
可以证明(若需要再作补充)
因为7和5互素,所以当m,n取遍所有整数时,
7m+5n也取遍所有整数.
所以集合A表示4的倍数(包括正数、负数和零)
再研究B,x=12m+18n=6(2m+3n),
因为2和3互素,所以当m,n取遍所有整数时,
2m+3n也取遍所有整数.
所以集合B表示6的倍数(包括正数、负数和零)
4和6的最小公倍数为12,
所以A交B表示所有12的倍数(包括正数、负数和零).
其中最小的正整数当然是12
在A中有28m+20n=12即7m+5n=3
经过简单试验可得m=4 n=-5
(答案不唯一,通式为m=4+5t,n=-5-7t,t为任意整数)
在B中有12m+18n=12即2m+3n=2
经过简单试验可得m=1 n=0
(答案不唯一,通式为m=1+3t,n=-2t,t为任意整数)

12 此时A中m=-1，n=2；B中m=1，n=0；
原因是：A中提出 4 后，剩下的是7m+5n，所以存在m，n使得7m+5n=1，从而就可以表示所有整数了，因此可以认为A中元素实际是 4 的倍数，同理B中元素是6的倍数
故交集中的元素是公倍数，最小的正的为 12.

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