分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/06 23:32:32

分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|
分析法证明不等式
已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|

分析法证明不等式已知非零向量a,b,a⊥b,求证|a|+|b|/|a+b|
【1】
∵a⊥b
∴ab=0
又由题设条件可知,
a+b≠0（向量）
∴|a+b|≠0.
具体的,即是|a+b|＞0
【2】
显然,由|a+b|＞0可知
原不等式等价于不等式：
|a|+|b|≤(√2)|a+b|
该不等式等价于不等式：
（|a|+|b|)²≤[(√2)|a+b|]².
整理即是：
a²+2|ab|+b²≤2(a²+2ab+b²)
【∵|a|²=a².|b|²=b².|a+b|²=(a+b)²=a²+2ab+b²
又ab=0,故接下来就有】】
a²+b²≤2a²+2b²
0≤a²+b²
∵a,b是非零向量,
∴|a|≠0,且|b|≠0.
∴a²+b²＞0.
推上去,可知原不等式成立.

由a⊥b
|a+b|^2=|a|^2+|b|^2>=1/2*(|a|+|b|)^2
整理即得原不等式

证明：不等式转为(|a|+|b)|<=√2|a+b，两边同时平方后，移项可以得到 a2+b2≥2｜a︱︱b︱，此不等式是显然成立的，所以上述不等式成立。

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