作业帮概率论问题,若X和Y独立,则X^2和Y^2一定独立吗如题是第一题,另外还有以下2个,第二题,若X与Y不相关,则X^2与Y^2也不相关.第三题,若X^2与Y^2不相关,则X与Y也不相关.以上3个命题该怎么理解?或者怎么
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/04/30 08:44:52
概率论问题,若X和Y独立,则X^2和Y^2一定独立吗如题是第一题,另外还有以下2个,第二题,若X与Y不相关,则X^2与Y^2也不相关.第三题,若X^2与Y^2不相关,则X与Y也不相关.以上3个命题该怎么理解?或者怎么
概率论问题,若X和Y独立,则X^2和Y^2一定独立吗
如题是第一题,另外还有以下2个,
第二题,若X与Y不相关,则X^2与Y^2也不相关.
第三题,若X^2与Y^2不相关,则X与Y也不相关.
以上3个命题该怎么理解?或者怎么证明?
概率论问题,若X和Y独立,则X^2和Y^2一定独立吗如题是第一题,另外还有以下2个,第二题,若X与Y不相关,则X^2与Y^2也不相关.第三题,若X^2与Y^2不相关,则X与Y也不相关.以上3个命题该怎么理解?或者怎么
第二三两个命题都是不一定!
若X和Y独立，则X^2和Y^2一定可以独立。
一题：假定X，Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y), 则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
显然，随机向量(X^2, Y^2) 是 随机向量 (X, Y)的一个变换，则有：
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x, y) 到 (u, v)=(x^2, y^...
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一题：假定X，Y的联合分布为 f_(X,Y)(x,y), 则因为 X与Y独立,
f_(X,Y)(x,y) = f_X(x) f_Y(y)
显然，随机向量(X^2, Y^2) 是 随机向量 (X, Y)的一个变换，则有：
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A,
其中 A 为 (x, y) 到 (u, v)=(x^2, y^2) 的微分变换矩阵，因为 x^2只依赖于x， y^2只依赖于y，所以 A其实为对角矩阵，A11 = dx / du = 1/(2√u) ， A22 = dy / dv = 1/(2√v)，
所以 det A = A11 * A22 = 1/( 4√(uv) )
所以
f_(X^2,Y^2)(u,v) = f_(X,Y)(√u,√v) det A = f_X(√u) f_Y(√v) * 1/( 4√(uv) )
= 1/(2√u) f_X(√u) * 1/(2√v) f_Y(√v)
显然，这是两个函数的乘积，第一个函数只依赖于u，第二个函数只依赖于v，
所以 X^2与Y^2相互独立。
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