正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值?求x+2y的最小值?

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/02 20:01:13
正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值?求x+2y的最小值?

正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值?求x+2y的最小值?
正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值?求x+2y的最小值?

正数x、y满足1/x+9/y=1 求xy的最小值?求x+2y的最小值?
第一问
1=1/x+9/y≥2√(9/xy),
所以xy≥36.
当1/x=9/y即x=2,y=18时
xy取得最小值36
第二问 x+2y=(x+2y)(1/x+9/y)=19+9x/y+2y/x≥19+2√(9x/y·2y/x)=19+6√2.
当9x/y=2y/x,
即x=1+3√2,y=9+3√2/2时,
x+2y取得最小值19+6√2.

(1) 均值不等式:
1 = 1/x + 9/y ≥ 3/√(xy) ==> √(xy) ≥ 3 ==> xy ≥ 9
(2) 柯西不等式:
(1/x + 9/y)(x + 2y) ≥ (1 + 3√2)2
x+2y ≥ 19 + 6√2

1/x+9/y=1 >=18/xy
xy>=18