高中数学竞赛的一道二试题AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在三角形PAD、三角形PBE、三角形PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/04 00:01:01

高中数学竞赛的一道二试题AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在三角形PAD、三角形PBE、三角形PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.
高中数学竞赛的一道二试题
AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线,P是任意一点.
证明:在三角形PAD、三角形PBE、三角形PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.

高中数学竞赛的一道二试题AD、BE、CF是三角形ABC的三条中线,P是任意一点.证明:在三角形PAD、三角形PBE、三角形PCF中,其中一个面积等于另外两个面积的和.
画图后解得如下：
因为：PAD=1/2ABC -PAC - PCD
      PBE=1/2ABC -PAB - PAE
      PCF=1/2ABC -PAC - PAF
根据P点位置不同可以分析出应该是哪个三角形等于哪两个三角形之和.我设的任意点在P靠近AC这条线,因些可以分析出,应该是PCF=PBE+PAD  将上面三式代入得
PAD+PBE-PCF=1/2ABC+PAF-PCD-PAB-PAE
在图形中将PCD PAB PAE 用斜线阴影表示,将PAF用反斜线表示（即扣掉PAF),剩余部分成为：PBF+PAE+PCD
又因为：PBF=PAF  PAE=PCE  PCD=PBD
所以：PBF+PAE+PCD = 1/2ABC
即：PAD+PBE-PCF=0
PCF=PAD+PBE
以上证明用了以下几个定理：
1、三角形面积等于底乘高除以二.
2、等底等高的三角形,面积也相等.
3、中线将三角形分成面积相等的两部分.

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