如下图,已知四边形ABCD在平面α内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1,求证:四边形ABCD是平行四边形

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/04/27 22:21:30
如下图,已知四边形ABCD在平面α内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1,求证:四边形ABCD是平行四边形

如下图,已知四边形ABCD在平面α内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1,求证:四边形ABCD是平行四边形
如下图,已知四边形ABCD在平面α内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1,求证:四边形ABCD是平行四边形

如下图,已知四边形ABCD在平面α内的射影是一个平行四边形A1B1C1D1,求证:四边形ABCD是平行四边形
首先要限定四边形ABCD在同一个平面上,不是空间四边形.
这题可以用反证法证明.
投影的基本属性是:
1)原来平行的直线的投影依旧是平行的.
2)平面上两条不同的直线,投影也是不同的.
从题目可知A1B1//C1D1
因此,假设 AB和CD不平行,那么过C点做AB的平行线CD2.即AB//CD2.CD2在α内的投影是CD3
那么AB和CD2的平面α内的投影相互平行:A1B1//C1D3
那么可知A1B1//C1D1,A1B1//C1D3 所以C1D1//C1D3,且同时过C1点,所以C1D1D3是同一条直线.
如果CD2和CD是两条不同的直线,那么其投影应该是两条直线,现在C1D1D3是同一条直线.
所以CDD2也是同一条直线.
因为AB/CD2,所以AB//CD.同理也可证明BC//AD,所以得证.

投影的一个性质是:平行的直线的投影仍旧平行。

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