已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/05/05 05:47:47

已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2

已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
f(a+b)-(a+b)ln2=2f[(a+b)/2]
f(x)'=lnx+1
f(x)''=1/x
由题意得x>0
∴f(x)''>0
∴f(x)是下凸函数
根据中值定理,下凸函数[f(a)+f(b)]/2>=f[(a+b)/2]
∴f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
得证

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证明：
∵当x>0时，f''(x)=1/x>0，
∴f(x)在(0,＋∞）上是凹函数
1）当a≠b时，不妨设a[f(a)＋f(b)]/2 >f[(a+b)/2]
即
[alna+blnb]/2>[(a+b)/2 ]×ln[(a+b)/2]，整理得：
alna+blnb>(a+b)ln[(a+b)/2]=(a+b)ln(a+b)-(a+b)ln2
即f(a)+f(b)>f(a+b)-(a+b)ln2
2）当a＝b时，
f(a)+f(b)=2f(a)=2alna
f(a+b)-(a+b)ln2=f(2a)-2aln2=2aln(2a)-2aln2=2aln(2a/2)=2alna
故f(a)+f(b)=f(a+b)-(a+b)ln2
于是由1）2）可得：
f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2
证毕

收起

已知函数f(x)=lnx+a/x,当a 已知函数f(x)=lnx+a/x,当a 已知f(x)=x lnx,当a>0,b>0时,求证：f(a)+f(b)>=f(a+b)-(a+b)ln2 已知函数f(x)=(x-m)^2/lnx (a为常数）当0 已知函数f(x)=lnX.证明：当0 已知函数f(x)=lnX.证明：当0 已知函数f(x)=lnx.当0 已知函数f(x)=x－a/x－(a＋1)lnx(属于R).(1)当0 已知函数(x)=lnx-a/x,当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性已知函数f(x)=(x+k)lnx(k是常数)当k=0时,是否存在不相等的正数a,b满足[f(a)-f(b)]/(a-b)=f'(a/2+b/2) 已知函数f(x)=lnx - ax + (1-a)/x -1(a∈R) ,当0≤a 已知函数f(x)=(2-a)lnx+1/x+2ax,问当a 已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x＞0)(1)讨论函数f(x)的单调性（2）当X大于等于1时,f(x)小于等于lnx/(x+1)恒已知函数f(x)=lnx-a(x-1)/(x＞0)(1)讨论函数f(x)的单调性（2）当X大于等于1时,f(x)小于等于lnx/(x+1)恒成立已知f(x)=lnx+(1/x)(x>0),g(x)=lnx-x(x>0)求证当x>0时,xln(1+1/x) 已知函数f[x]=a/x-1+lnx当x属于[1,e]时,f[x]小于或等于0恒成立,则实数a的范围已知f(X)=lnx (0 已知函数f(x)=lnx,0 已知函数f(x)=lnx,0