应用罗必塔法则求极限lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/05/06 21:47:05
应用罗必塔法则求极限lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)

应用罗必塔法则求极限lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)
应用罗必塔法则求极限
lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)

应用罗必塔法则求极限lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)
lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)=
利用lim(1+1/x)^x=e(x趋于正无穷)
把1/x看成x lim(1+x)^(1/x)=e (x趋于0)
lim[(1+x)^(1/x)-e]/x (x趋于0)
=lim[(1+x)^(1/x)-e]/limx(x趋于0)
=(e-e)/limx(x趋于0)=0

lim[(1+x)^(1/x)-e]/x
=lim[e^(ln(1+x)/x)-e]/x
=lim{e^[ln(1+x)/x]*[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2}
=e*lim{[x/(1+x)-ln(1+x)]/x^2}
=e*lim{-2[1/(1+x)^2-1/(1+x)]/x^3
=-2e*0=0